n v i.2.3...(/ih-i

Supposons que la valeur x = x0 annule les n premières dérivées de F(x), sans annuler la (n -+- i)ièmo. La formule (1) . se réduira à

(2) F(jgfH-A)^F(jgO=1>aa3*^(1w + l)F^H^o + 9*)>

Puisque F*+1(«0) n'est pas nul, F**1^©-*- Oh), qui en diffère infiniment peu en raison de la continuité supposée de Fn+1(j?) dans l'intervalle étudié, sera de même signe que Fn-,"t(d?o), quel que soit le signe de h.

Cela posé, si n 4- 1 est impair, ha+l changera de signe en même temps que h> et il en sera de même du premier membre de la relation (2), de sorte que, pour j? = j?0, F(a?) n'atteindra aucun maximum ni aucun minimum.

Si, au contraire, /1 + 1 est pair, h**1 ne changera pas de

signe en même temps que h et demeurera positif. Le premier membre de la relation (a) conservera donc le signe de Fn-*-l(œ0), que h soit négatif ou positif. Et, par conséquent, ¥(x0) ter* un maximum de F (a?) si Von a F*+l(^To) <ort, un minimum, si l'on a ¥n^'l{xfi) > o.

Nous résumerons ce qui précède dans l'énoncé suivant : En général, si une valeur x0 de la variable x annule les n premières dérivées de la fonction ¥(x) sans annuler la (n-{-i)iime9 cette valeur x0 ne fait atteindre à la fonction ni maximum ni minimum lorsque n + i est un nombre impair, tandis que, sin-+-i est un nombre pair, ¥(x0) est un maximum ou un minimum de¥(x), suivant que Fi*"*"1(x0) a une valeur négative ou positive.

Ainsi, il faut que la première dérivée qui ne s'annule pas soit d'ordre pair pour qu'il y ait maximum ou minimum.

731. Il n'est pas inutile de remarquer que la fonction proposée étant y = F(#), on peut mettre la série de Taylor soos la forme (681)

¥(x-h h) — ¥(x) = dy + -d*y-t- ^7 + .,

d*+xy ■

On peut donc dire encore que, pour qu'il y ait maximum ou minimum, il est nécessaire que la valeur x = x9 annule un nombre impair de différentielles successives dy, d*y, d*y> . . ., et qu'il y a maximum ou minimum, suivant que la première différentielle d'ordre pair qui subsiste est, pour x = x0, négative ou positive.

Applications.

732. Nous commencerons par retrouver quelques résultats déjà obtenus en Algèbre élémentaire.