I. Chercher le maximum de la fonction

On a ici

/'(*)=« — ax.

Cette dérivée s'annule pour x = -• Elle est positive pour une valeur

de x un peu plus petite et, négative, pour une valeur de x un peu plus grande. Elle passe donc du positif au négatif, quand x croît en traversant la valeur -• Cette valeur - répond donc à un maximum de/(.r),

et ce maximum, f( - j9 est égal à y (Alg. élém., 285).

II. a étant une constante positive donnée et p et q étant des entiers positifs, chercher les maximums et les minimums de la fonction

jr=f(x)=xP(a — x)v.

La dérivée de la fonction est

f'(x) = pxP-*(a — #)?— q xP(a — x)v~K

En l'égalant à zéro et en mettant xP-*(a — x)*-1 en facteur, on obtient l'équation

xP~x{a — xyi-^lpa — (p-{-q)x]=z o.

Elle se partage immédiatement en trois autres

x = o, a — x = o, pa — (p-h q)x = o,

qui donnent

x = o, x = a* x = -^- — ot a — x = — ^ — • p + q p+q

Les deux valeurs x = o et x = a répondent à/(.r) = o.

Pour une valeur de o? un peu moindre que o, c'est-à-dire négative, f\x) a une valeur négative si p > i est pair, et cette fonction dérivée a une valeur positive pour une valeur de x un peu plus grande que o, c'est-à-dire positive. La dérivée passe ainsi du négatif au positif, ce qui est le caractère d'un minimum.

En donnant à x une valeur un peu moindre que a, puis une valeur un peu plus grande, on arrive à un résultat analogue, si q >i est pair.

f(x) passe donc par un minimum pour x =a o, quand p est pair et, pour x = a, quand q est pair, et ce minimum est o.

Enûn, pour une valeur de x un peu moindre que -*- — > la dérivée

f'(x) est positive, et elle devient négative pour une valeur de x un peu

plus grande que — — • Elle passe ainsi du positif au négatif, ce qui

est le caractère d'un maximum, /(x) passe donc par un maximum pour

x=— ^ — et pour a — x=— 2 — . p+q * p + q

Les deux facteurs x et a — x sont alors proportionnels à leurs exposants respectifs p et q et, pour obtenir leurs valeurs, il suffit de partager leur somme a proportionnellement à ces exposants {Al%. élén.9 297). Le maximum de F (a:) est alors

III. Chercher le maximum et le minimum de la fonction rationnelle (Jlg. élém., 315 et suiv.).

Nous aurons, pour la dérivée de la fonction, en simplifiant et en ordonnant,

/'/ \^(ab' — ba')x*-h 2(ac'— ca)x-\-(bc'—cb')

Les valeurs de x qui annulent f'(x) annulent aussi le numérateur de l'expression (2). Nous poserons donc

(3) (ab'— ba')x*+*(ac' — ca')x-+-(bc'— cb')=o.

II faut, bien entendu, que les racines de cette équation n'annulent pas en même temps le dénominateur de l'expression (3).

Nous devons considérer en outre les valeurs de x qui rendent ce dénominateur infini, sans faire prendre une valeur analogue au numérateur.

Or, pour x = ± 00, f'(x) se présente sous la forme - • Mais cette indétermination répond en réalité à la valeur zéro, puisque le degré du numérateur de l'expression (a) est inférieur à celui du dénominateur (712, 5°). Nous mettrons donc à part cette valeur particulière x=rtx qui annule f'(x) sans correspondre à un maximum ou à un minimum.

Revenons à l'équation (3). Si l'on désigne par xt et xt les racines de cette équation, elles feront connaître respectivement un maximum et un minimum de/(x), qui auront pour expressions f(xt) et/(xt).

Pour décider entre le maximum et le minimum, il restera à déterminer les signes pris par/'(x) pour des valeurs de x un peu plus petites et un peu plus grandes que xx et que xt.

Cette méthode est, au fond, identique à la méthode élémentaire. Nous allons l'appliquer à l'exemple numérique déjà traité (4lg. elem., 320). c'est-à-dire à Ja fonction

J JK ' X* + X + l

Nous en déduirons

r ax(f + a)

On voit que f(x) s'annule pour x = — 2 et pour x = o.

Lorsque x atteint, en croissant depuis — », la valeur — a et la dépasse, f(x), positive jusque-là, devient négative, x = — 2 répond donc

à un maximum de/(.r), qui est/(— 2)= -•

Lorsque *r atteint, en croissant toujours, la valeur o et la dépasse. /'(■*), négative depuis x = — 2, redevient positive, x = 0 répond donc à un minimum de/(x), qui est/(o) = — 1.

Pour montrer combien l'emploi de la dérivée simpliûe les discussions de cette espèce, construisons la courbe représentative de la fonction Cfc i3).

Pour x = q:oo, on a évidemment (712, 5°) r = i. La droite H'H menée parallèlement à Taxe des x, à la distance OB = 1, est donc une asymptote de la courbe.

Pour des valeurs négatives de x, très grandes en valeur absolue et

jusqu'à x = — 2, la dérivée f'(x) est positive. La fonction y va donc en croissant constamment (724), et la courbe commence par s'élever audessus de son asymptote. Elle atteint ainsi son point maximum M, qui

répond à x = OA = — 2 et dont l'ordonnée MA = ^- Au delà, la dérivée f\x) devient négative et le demeure tant que x reste négative. y diminue donc, et la courbe descend vers l'axe des x. Comme on a y = 1 pour

c'est-à-dire pour x = OC = — 1, elle coupe son asymptote au point correspondant D. Elle la rencontre aussi à l'infini, puisque, le coefficient du terme en x% dans l'équation précédente étant égal à zéro, cette équation admet encore pour racine x = ± » (Alg. élém., 241). Gomme .r =±» rend /'(^) = o, l'asymptote H'H est, en réalité, une tangente à la courbe à l'infini et dans les deux sens. La courbe continue à descendre au delà du point D, jusqu'à ce

qu'elle parvienne à son point minimum /», qui répond à x = o et à y s= 0/w =—i.

Après ce point minimum, x devenant positive, la dérivée f(x) redevient elle-même positive, et la fonction recommence à croître indéfiniment, puisque sa dérivée ne change plus de signe. .

La courbe, en descendant après son point maximum et en remontant après son point minimum, coupe nécessairement deux fois l'axe des x.

On a, en effet, pour y = o,

idry^

X* — X — 1=0 ou x = - — •

Les points où la courbe traverse Taxe des x ont ainsi pour abscisses j:=--OI= '""^ = -0,618 et x = OJ=i^V^ =i,6i8.

L'ordonnée y redevient positive à partir du point J ; mais la courbe, en montant, ne pouvant plus rencontrer son asymptote qu'à l'infini, reste constamment au-dessous en s'en rapprochant indéfiniment dans le sens H.

733. IV. Chercher le nombre x dont la racine x est un maximum.

La fonction dont il faut chercher le maximum est

y = tfx = x*.

Mais les logarithmes croissant en même temps que les nombres quand la base est plus grande que i, il revient au même de chercher le maximum de la fonction

f(x) = lxxz=z — lx.

On a alors

Cette dérivée s'annule pour lx = i ou pour x=ze.En remarquant que, si Ton passe, pour x, d'une valeur plus petite que e à une valeur plus grande que e,f'(x) passe du positif au négatif, on voit que x = e répond à un maximum.

Par suite, la fonction proposée xx a pour maximum t*.

ALGEBRE SUPÉRIEURE, 63q

734. V. Problème de Vitiani. — On donne les deux parallèles AB, CD, et la sécante BC. Mener par le point déterminé D la sécante DXY telle , que la somme des triangles BXY, CXD, soit un minimum (fig. i4)«

Nous poserons CD = a, CB = b, CX = x} et l'angle BCD = a.

Fig. i/,.

L'aire du triangle CXD a pour expression (Trigon., 153)

CXD = -axsina.

L'aire du triangle BXY a de môme pour expression BXY=i(fc-;r)BYsina.

La similitude de ces deux triangles donne d'ailleurs

BY BX „ , v b — œ

CD = CX' d0U BY = a"F-

11 en résulte

BXY=I«£=^.'ilii«.

La fonction dont on a à chercher le minimum est donc

-chî+ - sina

ou. en laissant de côté le facteur constant -a sina,

En égalant à zéro la dérivée /'(a?), on trouve

l - - — 2 =0 OU 2X*—b*=:0.

64o On en déduit

ALGÈBBE SUPÉRIEURE.

Cette valeur, qui est représentée par la moitié de la diagonale du carré construit sur b, répond bien à un minimum ; car, pour une valeur un peu plus petite de x, la dérivée f'(x) est négative, et, pour une valeur un peu plus grande, elle devient positive.

Ce minimum a, d'ailleurs, pour expression

ab(sji — i) sina.

735. VI. Étant donné un tronc d'arbre de longueur suffisante, on demande de le transformer en poutre rectangulaire présentant le maximum de résistance à la flexion

{fig. i5).

w e Fig. i5.

Supposons que le cercle 0 représente la section de l'arbre à l'état primitif. Soient b la base et A la hauteur de la section rectangulaire qu'on veut obtenir en enlevant les dosses. D'après la théorie de la flexion plane des solides, on sait que la résistance de la poutre est proportionnelle au produit bh*m C'est donc ce produit qu'on doit rendre maximum. En appelant D le diamètre de la section circulaire de l'arbre, on a

&* + AI = DI et le produit bh* devient

Af=Df — ft8,

6(DJ- ft1).

En prenant la dérivée de cette expression par rapport à b et en régalant à o, on trouve évidemment

résulte

Ce rapport s'éloigne très peu, comme on le voit, des rap-

5 7 ports pratiques - et — habituellement établis entre la base b

et la hauteur h des poutres rectangulaires placées sur champ. La construction géométrique qui permet de tracer immédiatement sur la section circulaire les traits de scie qui doivent transformer l'arbre en poutre rectangulaire de résistance maximum, est très simple. On mène (Jig. i5) le côté AB du carré inscrit, on le reporte par un arc de cercle sur la tangente AB', et l'on joint le point B7 obtenu au centre O, La perpendiculaire CD abaissée, du point de rencontre C

de B'O avec la circonférence, sur le rayon OA, représente et OD représente -• On a, en effet,