Soit, en dernier lieu
/ cosxdx.
On aura d'abord
/ cosxdx —s\nx + C;
Xcosx dx = sin^i — sin.r0.
puis.
Si l'on fait tendre maintenant xt vers l'infini, la valeur de sina?! ne peut tendre vers aucune limite déterminée. La valeur de l'intégrale
f cosxdx est donc elle-même complètement indéterminée.
(3g6 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
790. IL La fonction dérivée placée sous le signe / peut détenir
INFINIE POUR L'UNE DES LIMITES DE l/lNTÉGRALE OU ENTRE SES LIMITES.
Supposons d'abord que la fonction dérivée /(a:) demeure finie pour les valeurs de x comprises entre les limites ~r0 et xl9 mais qu'elle devienne infinie pour x—xx. La valeur correspondante de l'intégrale peut être alors finie, infinie ou indéterminée.
En supposant toujours xt> x0 et en désignant par £ un infiniment petit positif, on pourra poser
f f(x)dx— lim / f(x)dx [pour£ = o].
Si la fonction/(o?) devient, au contraire, infinie pour x = x9f on pourra écrire d'une manière analogue
J/(x)dx =.- lim / f(x)dx [pour£ = o].
791. Supposons, en second lieu, que la fonction /(x) devienne infinie pour une certaine valeur de x comprise entre les deux limites x0 et xx de l'intégrale. Cette dernière peut alors être finie, infinie ou indéterminée.
En désignant par X la valeur de x qui rend, dans l'intervalle (x0, xv), /(x) infinie, nous pourrons écrire, d'une manière générale et d'après un théorème démontré précédemment (763, 4°),
f{x)dx— f /(x)dx-hf f(x)dx.
Comme on a, par hypothèse, /(X) =ao, il faudra chercher les limites des intégrales du second membre d'après les indications données au n° 790. En désignant par £ et par n deux infiniment petits positifs, sans corrélation aucune, nous poserons donc
et
Jf(x)dx=z\\m I f{x)dx [pour£ = o] ■r. «/»o
Xf(x)dx~ Mm f f(x)dx [pourYj = o].
La somme des deux limites obtenues fera connaître la valeur de l'intégrale proposée.
