Calculer la valeur du déterminant

Rép. (a—b)(a — c)(a—d)(b — c)(b — d)(c—d). 20. Démontrer l'identité

i a% b2 ct

i a% b% cz

I i ak Z>4 Ci

i ûs h- Xj b% -h Xj ^ -4- Xj

1 «3-4- X3 &3-f-Xj C3H- Xj

i «v -h Xv bK -4- X* r* -h X*

21. Lorsqu'on échange les lignes et les colonnes d'un déterminant de manière que les deux diagonales de ce déterminant s'échangent ellesmêmes, le déterminant conserve la même valeur absolue et change on non de signe, suivant que le plus grand nombre pair contenu dans son degré est pair ou doublement pair.

22. Si, dans un déterminant du /ik;me ordre, on remplace les différents éléments par les déterminants mineurs qui leur correspondent, le nouveau déterminant, dit réciproque du déterminant donné, est égal à la (n — î)*"* puissance de ce dernier.

23. Le déterminant du troisième degré dont on forme les lignes en prenant, dans leur ordre naturel, neuf termes consécutifs d'une progression par différence ou d'une progression par quotient, a une valeur nulle.

24. Démontrer que la suite de Lamé, relative à la recherche de la limite du nombre de divisions à effectuer dans le calcul du plus grand commun diviseur de deux nombres entiers {Arithm., 125), c'est-à-dire la suite

i, 2, 3, 5, 8, i3, ai, 34, 55, 89, ....

jouit de la même propriété.

25. A* termes consécutifs de la suite obtenue en remplaçant, dans l'expression [2"-1 — 1], n par la suite naturelle des nombres, constituent un déterminant d'ordre A, dont la valeur est toujours nulle.

26. On peut décomposer la valeur d'un déterminant d'ordre n en une somme de produits ayant chacun pour facteurs la valeur d'un déterminant mineur d'ordre p ou de classe n — p et celle d'un déterminant mineur d'ordre n — p ou de classe p.

SLR L ALGEBRE SUPÉRIEURE. 7II

27. Lorsque, dans un déterminant, les éléments de la première ligne sont tous égaux à l'unité, et que les éléments des autres lignes sont respectivement égaux à la somme de ceux qui, dans la ligne précédente, sont aii-dessits et à gauche de l'élément considéré, la valeur du déterminant est égale à l'unité.

28. Lorsque, dans un déterminant, les éléments de la première ligne sont respectivement égaux aux éléments correspondants de la diagonale qui descend de gauche à droite, et que tous les éléments situés au-dessous de cette diagonale en reproduisent, dans chaque colonne, les termes correspondants changés de signe, la valeur de ce déterminant est égale à celle de son terme principal, multipliée par une puissance de 2 marquée par le degré du déterminant moins i .