Trouver la limite de la série

«i ■+" ut -+- «3 h- ... -+- //„ -f- . . . , dont le terme général a pour expression

* ~~ «(/iH-2)(// -+- 3)(/i-f-4)#

146. «, b, 8, étant des quantités positives quelconques, satisfaisant à la relation

0 = b — a — 1, la limite de la série #

est égale à <7.

(M. Catalan, Mélanges mathématiques.)

147. Si Ton groupe d'une manière quelconque, mais sans changer leur ordre, les termes consécutifs d'une série convergente, la nouvelle série obtenue est convergente, et présente la même limite que la première.

(La réciproque de ce théorème n'est pas exacte, c'est-à-dire que la nouvelle série peut être convergente, sans que la première le soit: mais, si la seconde série est divergente, la première l'est nécessairement.)

148. Démontrer que le nombre e ne peut être racine dune équation du second degré à coefficients entiers.

1 19. Soient les deux séries convergentes

//o-w/i- «,- ...4 //,,-i-hlf* -h //„+! -:

i'o -f- i'i -}■ i'i -i . . . -f- i«-i-i <'„ -+- iVt i ■+-

<jui ont S et S' pour limites respectives.

Si ces séries ont tous leurs termes positifs, ou si elles demeurent convergentes lorsqu'on remplace les termes négatifs par leurs valeurs absolues, la série

ri'o— H'i-'-ii',^-.. .--«•„-, -*-«'« -f «Vu-*-

dont le terme général a pour expression

<%'„-r tioV,t-*-lliVn -lH- «li'ii-t-H. • • ^««-i^ + w»^

e4 convergente, et elle a pour limite le produit SS1 des limites des séries proposées.

150. Développer en série ordonnée suivant les puissances croissantes de r, à l'aide do la méthode des coefficients indéterminés, le produit indéfini

(i — .r)(i — ./:*)( i -,r'»)(i - •**)(! — -rl6)

( Se reporter au n° 423. )

I T> 1 . Obtenir le produit .rcot.r en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x, à laide de la même méthode, et en se servant des développements de sinx et de cos.r indiqués au n° 397, 3°, et démontrés plus loin (702).

(On posera d'abord .r cotx = A0-f- Ai.r*-+- Aj.r*-f- Ajx*-+- 1

K>2. Obtenir, en série ordonnée suivant les puissances croissantes (U* 3, le produit indéfini

(l .- XZ)(l -+- X*z)(l -i-.r3s)(l -t-.l*3). . .(I -r.CaZ)

( Se reporter au n° 423.)

1î»3. Même question pour le produit indéfini

( i -f- jcz)(i -i- i*:)(n- a*s).. .(i -h j*»~13). . . .

sun l'algèbre supérieure. 73 i

154. Écrire, sous forme de série convergente, la fraction continue

X=^(â.i7i7i74. ■'•■)• {Voir la question 61. )