Développer en fraction continue la série

S = i -: r.c -h rv.r* -; r* jr* - . . . -* rn'x'1 -4- . . . . (On appliquera la formule du n° 434).

156. Supposons qu'on ait à considérer un produit composé d'un nombre illimité ou infini de facteurs, variables avec leur rang n suivant une loi donnée.

Le terme général de rang n, exprimé par une fonction de /*, pourra avoir une limite supérieure, inférieure ou égale à l'unité, lorsqu'on fera croître n indéfiniment. •

Dans le premier cas, les facteurs du produit finissent par être toujours supérieurs à un nombre fixe plus grand que i, et le produit correspondant croit indéfiniment et a l'infini pour limite.

Dans le deuxième cas. les facteurs du produit finissent par être toujours inférieurs à un nombre fixe plus petit que i, et le produit correspondant diminue indéfiniment et a zéro pour limite.

Dans le troisième cas, c'est-à-dire quand le terme général de rang ir a pour limite l'unité, on dit que le produit proposé est convergent, lorsque le produit de ses n premiers facteurs tend vers une limite déterminée différente de zéro, lorsque n croît indéfiniment.

D'après ce qui précèdo, il n'y a lieu d'étudier que les produits composés d'un nombre infini de facteurs, qui sont do la forme

et dans lesquels a„ tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini.

Cela posé, les quantités at. a*. a3, ..., a„, étant supposées

toutes de même signe, c'est-à-dire les facteurs du produit (i) étant tous plus grands ou plus petits que l'unité, on demande de démontrer que le produit P est convergent ou divergent en même temps que la série

157. Démontrer, plus généralement, que les quantités a,, *2. a:l. a„, . . ., étant des quantités réelles quelconques, le produit

est convergent, lorsque les doux séries

al "+" X| ■+■ «3 -H . . . -i- 0Ln - - . . . ,

ol] h- a| -+- ocJ -h . . . -i- a)} -f-

sont convergentes l'une et l'autre.

j'i'Â QUESTIONS PROPOSÉES

Le produit P n'est pas convergent et tend vers zéro, lorsque, la première série étant convergente, la seconde est divergente.

(Il faut remarquer d'ailleurs que, lorsque les quantités «i, z2, z3

a„, . . . , sont de môme signe, la convergence de la première série entraine nécessairement celle de la seconde. )