I-hC

Un

Si l'on considère alors la série (V) 1 1 1

!/« 2//i 3m ••' nm (n^,)/n '"•'

qui est convergente (377, 3°), puisque m est plus grand que i, on voit que, dans cette série, le rapport -2±* d'un terme au précédent a pour expression générale

{n -hi)wt / n \m 1

nm \ n}

II est donc plus grand que le rapport analogue -^ dans la série (U)

un

qui est, a fortiori, convergente (385).

a° Supposons maintenant

lim/ia = A: et k<i.

Si m est une quantité quelconque, mais déterminée, comprise entre k et 1 et, par suite, plus petite que 1, on a, comme précédemment (i°),

Pour qu'on ait, à partir d'une certaine valeur de #t, (1 bis) i-f-a < (i-t- - J ,

il suffit qu'on ait (zbis) «<— (i-r-8) ou /*a<m(n-8).

Or, à mesure que n augmente, le premier membre de la dernière inégalité tend, par hypothèse, vers k qui est plus petit que m, tandis que le second membre tend vers /», puisque 8 tend vers zéro. Par conséquent, à partir d'une valeur déterminée de «, l'inégalité (1 bis) sera satisfaite. D'ailleurs, cette inégalité revient à

ou à

1 Vn

Un+l

Si Ton considère alors la série (V) [i°], qui est ici divergente (377, 3°), puisque m est plus petit que 1, on voit que, dans cette série, le

rapport — l d'un terme au précédent est moindre que le rapport analogue -^ dans la série (U), qui est, a fortiori, divergente (385).

Un

3° Lorsqu'on a

lim«a = i,

on reste dans le doute. Néanmoins, si l'on a constamment, à partir d'un certain rang, n% inférieur à l'unité ou ct< - > la série (U) est diver-

762 WOTE.

gente. On a, en effet, dans cette hypothèse,

, Le rapport -^ est donc, à partir d'un certain rang, constamment

supérieur à

ou à

rapport qui répond précisément (363) à la série harmonique

Le théorème de Duliamel ne présente ainsi qu'un cas douteux, celai où l'on a lim/ia = 1 et où le produit n* n'est pas, à partir d'un certain rang, constamment inférieur à l'unité.