DES POLYNOMES IDENTIQUES. — VÉRIFICATION DES FORMULES ALGÉBRIQUES

Conditions d'identité de deux polynômes.

15. Lorsque deux expressions algébriques A et B, contenant des lettres a, b, c, . . . , demeurent égales, quelles que soient les valeurs attribuées à ces lettres, ces expressions A et B sont dites identiques.

En particulier, lorsque deux polynômes, entiers par rapport à x, restent égaux, quelle que soit la valeur attribuée à x, ils sont identiques

Un polynôme entier par rapport à x est la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux autres polynômes, quand il est identique^ la somme, à la différence, au produit ou au quotient effectif 'de ces deux polynômes.

16. I. Lorsqu'un polynôme P, entier par rapport à x et de degré m, s* annule pour plus de m valeurs différentes de x, il est nul, quel que soit x, c'est-à-dire identique à zéro ou identiquement nul.

Supposons d'abord que P s'annule p.our les valeurs a, b, c, ...,/, en nombre égal à m, substituées à x. P sera alors divisible séparément par chacun des binômes x — a, x— by . . ., x — l (13), et nous pourrons d'abord écrire

P = Ql(*-a),

Q, étant un polynômeentier par rapport kxet de degré m — i. P s'annulant pour x = b, et b — a étant différent de zéro, par hypothèse, on a Qt = o pour x— 6. Par suite, en vertu du théorème rappelé, on peut écrire

l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Q, étant un polynôme entier par rapport à .z.et de degré m — i. En répétant le même raisonnement, on pourra poser les égalités successives

Qî =Q, (a:-c)f

Qm-l-—Qm(x— ')•

Qm est indépendant de x, puisque son degré, par rapport à x, est m — m ou zéro.

Si Ton multiplie membre à membre toutes les égalités obtenues, il vient, en simplifiant,

(i) P = Q«(* - et) (* " à) (x ■ - c) . . . (je? - /).

Nous retrouvons ainsi un théorème important déjà démontré (Alg. élém., 55), savoir : Lorsqu'un polynôme entier par rapport à x s'annule lorsqu'on remplace x par des quantités différentes a, b, c, . . . , /, il est divisible par le produit des binâmes x — a, x — b, x — c, . . . , x — L

Cela posé, admettons que le polynôme P s'annule pour une (m4-i)ièmc valeur de x, différente des précédentes afb9c,...,l; le second membre de l'égalité (i) séria aussi nul, sans qu'aucun des facteurs binômes qu'il contient devienne nul. Il faudra donc qu'on ait Q/w=:o et, par suite, P = o, quel que soit x,

17. II. Lorsqu'un polynôme P, entier par rapport à x, est identiquement nul, tous ses coefficients sont nuls.

Soit

P — A04- kxx -i- Aj.r2~t- A3^*4-...-+- Amxm

un polynôme de degré m qui s'annule pour plus de m valeurs de xy et qui est, par suite, identiquement nui (16).

Ce polynôme étant nul, quel que soit x, est nul pour x — o. Il en résulte

On peut alors écrire

P = jt(Aj4- Atx-h Aj-r'-h.. .-hAmx"1-1). P étant nul quel que soit x, la parenthèse du second membre

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l'j

de l'égalité précédente satisfait à la même condition. On a donc, en y supposant x = o,

On prouvera de même qu'on a

À2=o, A3=o, ..., Àw=o.

18. III. Lorsque deux polynômes, entiers par rapport à x et de degrés m et n(m>n) en x9 sont égaux pour plus de m valeurs de x, ces deux polynômes sont égaux, quel que soit x} c'est-à-dire qu'ils sont identiques; en d'autres termes, ils ont même degré et les mêmes puissances de x y sont affectées des mêmes coefficients.

Soient les deux polynômes

P = A0-f- kxx-\- Af j?*-h. . . -f- Anxn-i-...-\- Amxm, Q = B0-rB^-r BtX* -h . . . -r Bnxn.

Formons leur différence

P — Q = À0— Bo-MA,— B^tf-KAt— B,)*1-*-...

P et Q étant égaux pour plus de m valeurs différentes substituées à x, leur différence P — Q sera nulle pour plus de m valeurs de x; elle sera donc un polynôme identiquement nul, ayant tous ses coefficients égaux à zéro (17). Il en résulte évidemment

A0~B0, AjzziB,, As:-Bs, ..., A„ = Dut ..., AWJ i = o, Am — o,

et le théorème énoncé est démontré.

19. Remarquons que si les deux polynômes P et Q étaient de même degré m et qu'on eût Am=Bm,iI suffirait, pour leuridentité, qu'ils fussent égaux pour m valeurs différentes substituées à x. En effet, leur différence P — Q, de degré m — i , serait alors nulle pour plus de m — i valeurs différentes substituées à x.

20. IV. Si deux polynômes 9 entiers par rapport à un nombre quelconque n de variables indépendantes x, y,z,

Ds C. — Cours. III. a

l8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

sont égaux pour plus de m groupes de valeurs différentes de ces variables {en désignant par m le degré le plus élevé obtenu en ordonnant ces polynômes par rapport à l'une des variables), ces polynômes sont identiques , c'est-à-dire qu'ils ont même degré et mêmes termes.

Comme ce théorème a été établi (18) dans le cas d'une seule variable x9 nous allons prouver, par un tour de démonstration bien connu, que, si le théorème énoncé est vrai dans le cas de n — i variables, il Test encore dans le cas de n variables.

Admettons que x soit la variable ordonnatrice répondant au degré le plus élevé. Les deux polynômes considérés seront de la forme (m > m')

A0 + A{x-h A^x* -\- Azx* -\- . . .-+- Amxm, B0+ B.xh- Bsxm--h Bsx* + . . .-t- Bm>xm'.

Comme ils sont égaux pour plus de m groupes de valeurs distinctes des variables, ils sont égaux pour plus de m valeurs distinctes de x. On aura donc, à la fois (18),

m — m' et A0 = B0, A1=B1, A,=iB„ ..., Am=Bm.

Ces égalités ayant lieu pour plus de m groupes de valeurs distinctes des n — i variables y, z, . . . , les relations précédentes sont, par hypothèse, des identités, et le théorème énoncé est démontré.

21. V. Pour que le quotient de deux polynômes, entiers par rapport à xy soit indépendant de x, il faut et il suffit que les deux polynômes soient de même degré en x et que le rapport des coefficients des mêmes puissances de x dans les deux polynômes soit constant.

Considérons, en effet, le quotient

• A0-t- Kta;-h Atj?a-f- A»a?3-t- ...-+- Am xm

B0 -h Btx + B,.r*-h B3#3-h7. . 4- tï^x™' '

Supposons, pour un instant, m > m' et admettons que ce quotient, que nous désignerons par q, soit indépendant de x; on aura (Alg. élém., 40)

A0H- AiX -h Aj^'H- . . . -H Amxm

= '/[B<>-f- Bi^ ■+- Bi#s -f- . .. . -+■ B,„ >xm' ],

et cette relation sera satisfaite quel que soit x, donc par plus de m valeurs de x. Il en résulte (18)

m = m' et

A0=BQq, A, = BI<7, A,= B,<7, . .., Am = Bmq9

c'est-à-dire

Ap Ai Aj Am

B0 Bi B2 B,„

Réciproquement, si cette condition est satisfaite, on en déduit, quel que soit x

Am«*

B0~~ B,o7"~ Btx*

ou bien (Alg. élém., 63)

Bo-hB^-f-Bj^-hBs^3-^. .-+-B,„.2?"< '*

Le théorème III (18), sur lequel nous venons de nous appuyer, ayant été étendu (20) à un nombre quelconque de variables x% y, z, ..., la même extension a lieu nécessairement pour le présent théorème V, et nous pouvons énoncer, sans démonstration, le théorème général suivant :

22. VI. Pour que le rapport de deux polynômes entiers en x9 y, z> ... soit indépendant de ces variables, il faut et il sujfit que ces deux polynômes soient de même degré et que les coefficients des termes composés de la même manière en x, y, z, . . . , dans les deux polynômes, soient proportionnels.

Vérification des formules algébriques.

23. Les théorèmes précédents permettent de vérifier, plus ou moins facilement, l'égalité ou l'identité de deux expressions algébriques.

Il y a deux cas à distinguer :

Pour vérifier une équation entre quantités arbitraires, c'est-à-dire pouvant recevoir des valeurs quelconques, il suffit de chasser les dénominateurs et de constater ensuite

que les deux membres de l'équation sont composés de termes identiques (20).

Lorsque les quantités qui entrent dans l'équation à vérifier ne sont plus arbitraires, c'est-à-dire sont liées entre elles par certaines relations ou équations de condition, il faut se servir de ces équations pour éliminer un pareil nombre de ces quantités. Les autres demeurent arbitraires, et Ton rentre dans le premier cas.