Chercher les conditions pour que le polynôme

Ao-a^-l- Ai .r3 -\- A^x* -+- A3 x -+- A* soit exactement divisible par le polynôme

B0xs-h Bi^-f-Bj.

Il suffit (27) d'égaler identiquement le dividende au produit du diviseur par le quotient inconnu, qui est de la forme

Ce produit ayant pour expression

aoBo^-^-CaoBi-f- a,B0)^8

-f-(a0Bî-t- a,Bi -f- aJB0)o:,-+-(a1B2-f- «jBi).r-f- a2B2,

les équations d'identité seront

a0B0= A0, a0Bi-*- a,B0~ Ai, a0 B2 H- on Bi + a2B0 = A2, a1Bs-f-aiBi = A8, a2B2= Ak.

On n'a pour obtenir les conditions demandées, qu'à éliminer a0, a,, a2 entre ces équations. Les trois premières donnent d'abord

AiB0—AoB|

A2BÎ - AiB0B, -4- A0B* — A0B0B2 aî== — ,

ce qui détermine le quotient. Puis, en substituant les valeurs de a0, at, at dans les deux dernières équations d'identité, on obtient finalement, pour les conditions cherchées,

<i) AoBjfBî-aBoBsJ-A^otBî — B0B2]-f- A2BjB!— A3B|J=o, (2) A0B2[B* — BoBîl-AjBoBjBj-r-AjBjBj— AvBj = o.

Remarque.

30. La méthode des coefficients indéterminés intervient, comme nous le verrons par la suite, dans un grand nombre de questions.

Toutes les fois que la forme des fonctions cherchées est connue d'avance, aucune difficulté ne peut se présenter.

Mais, si cette forme n'est pas explicitement donnée par la nature de la question et si on l'admet arbitrairement ou d'une manière intuitive, il faut, après avoir déterminé les coefficients inconnus, prouver non seulement qu'ils satisfont bien à la question proposée, mais encore établir que cette question ne comporte pas d'autres solutions.

En effet, un problème n'est complètement résolu que lorsqu'on s'est assuré que les solutions obtenues renferment, sans solutions étrangères, toutes celles que la question peut recevoir.

Cette vérification, souvent assez pénible, est quelquefois très difficile, sinon impossible ; mais on doit toujours la tenter.