MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS

25. On a souvent, en Algèbre, à trouver une fonction de x ou un, polynôme ordonné par rapport à x, dont la forme est connue, mais dont certains coefficients sont inconnus ou restent à déterminer.

La marche la plus simple et la plus naturelle consiste à écrire ce polynôme, en représentant les coefficients inconnus par des lettres; puis à exprimer, d'après les propriétés du polynôme cherché, les conditions auxquelles il doit satisfaire. On obtient ainsi des équations renfermant, comme autant d'inconnues, les coefficients à déterminer et, quelquefois, le degré même du polynôme. Le problème posé est alors ramené à la résolution de ces équations.

Cette méthode, très féconde et souvent employée dans l'Algèbre supérieure, est due à Descartes; elle porte le nom de méthode des coefficients indéterminés.

Pour en bien faire ressortir l'esprit, nous allons l'appliquer à quelques exemples.

Application à la division des polynômes.

26. Supposons d'abord qu'on veuille trouver le quotient de deux polynômes et le reste de leur division.

Soient le dividende de degré m

(i) A0xm -+- Ai^'"-1 4- k%xm-% + ...-+- km-x x -h Aw

et le diviseur

(2) B0a-*H- Bi*'*"1 4- Bsx*-*-h. . . -+- Bn^x -+- B„,

de degré n<m.

On pourra poursuivre la division jusqu'à ce qu'on parvienne

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 2 3

à un reste de degré inférieur au diviseur. Le reste sera donc de degré n — i. Quant au quotient, son premier terme provenant de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, il sera du degré m — n.

Le quotient et le reste cherchés sont donc des polynômes de la forme

(3) <x0xm-n-h «1a?",-'l-1 + a,a?",-/,-!+...+ a/n.B.1a;+am B et

(4) ?•*»-*+ Pt**-1-*- P,*»-»-*-. . . + P»-ta? 4- P„.-,.

Les inconnues a0, a„ «„ . ..,«,„„; po, plf p„ . . ., p„, sont les coefficients indéterminés, et, pour les trouver, il suffit d'exprimer que le dividende représente toujours identiquement (6, 18) le produit du diviseur par le quotient, augmenté du reste. Cette dernière somme réduite formera, par conséquent, un polynôme qui sera la reproduction, terme pour terme, du polynôme dividende; et, en exprimant cette idenr tité, on obtiendra les conditions nécessaires et suffisantes pour que le polynôme (3) soit le quotient et le polynôme (4) le reste de la division qu'on veut effectuer.

On a évidemment m +i inconnues, et l'on sera conduit à écrire m -4- i équations du premier degré entre les inconnues; la question est donc résolue.

27~ Si, au lieu de chercher le quotient et le reste de la division, on demandait de trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que la division réussît exactement, il faudrait écrire que le reste est identiquement nul, c'est-à-dire que tous ses coefficients sont égaux à zéro (17); en d'autres termes, on se contenterait d'égaler identiquement le dividende au produit du diviseur par le quotient.

On aurait toujours ainsi m-\-i équations; mais elles ne

renfermeraient plus que m — /n- 1 inconnues a0, au a„

««-«, puisque les coefficients po, p„ p„ ..., p„, du reste disparaissent comme nuls. Les m -+- 1 équations posées détermineraient donc les w-n + i inconnues, en donnant en outre n équations de condition {Alg. élém., p. \t\&) entre les coefficients A0, Au A„ . . . , A/rt du dividende et les coefficients B0, Bi, B„ . . ., Bn du diviseur; et l'on obtiendrait ces équations de condition en éliminant entre les //n-i équations

d'identité les m — n-t- 1 coefficients a0, «,, a2, . . ., <zfn-n du quotient.

EXEMPLES

28. i° Trouver, par la méthode des coefficients indétermines, le quotient et le reste de la division des deux polynômes

ix* — 7.r*-î- 6xs-t- 4-* — 3 et x* — 5x-\-\.

Le quotient sera du second degré et le reste du premier; on pourra donc les représenter par les expressions

a0.r*-f- *ix -h a2 et po.r~f-jV On devra avoir identiquement

S ix*— 7.r3-i-6.r2-{-4.r — 3

= (x* — 5x-\- i)(a0.r2-h a^-f- a2)-i- jV*-+- Pi- Le second membre, développé et réduit, est le polynôme a0.r*-f- (ai — 5a0).r3

-4- (a2 — 5 ai -f- a0).r2-h^0 — 5a2~h a,).r-r pi -i- a2.

11 doit être identique au premier membre, et l'on a les relations

a0='2, ax— ")a0 — — 7, a2 — 5 a, -j- a0 = G, Po— 5a2-i-a1=^ 4, (*!-+-«! = — 3.

Il suffit de résoudre ces équations du premier degré. On le fait très simplement, en remarquant que la première équation ne contient quea0; a0 étant connu, la deuxième équation permet de trouver immédiatement cli ; a0 et at étant déterminés, la troisième équation donne a4, et ainsi de suite.

On trouve successivement

a0=2, a, = 3, % a* =19, Po=96> Pi = — 22. Le quotient cherché est donc

ix* -^ Zx h- 19

et le reste correspondant

comme il est facile de le vérifier directement.