Soit le déterminant

al bt ct ... /{ t

On veut récrire, en l'ordonnant effectivement suivant les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne. Choisissons, par exemple, la ligne a. Nous aurons, d'une manière générale (k8), pour la valeur du déterminant,

A = Aaa« -H Ba6a4- CaCoL-

.-f-La/a

Dans celte expression, les coefficients Aa, Ba, Ca, . . ., L«sont les déterminants mineurs de première classe qui correspondent successivement à la suppression de la première, de la deuxième, de la troisième, . . ., de Ja rièmo colonne, combinée avec la suppression de la ligne considérée de rang a (M).

Pour former ces déterminants mineurs, il est commode d'opérer comme il suit.

Faisons monter la ligne a au premier rang, en la permutant successivement avec les lignes précédentes; nous changerons chaque fois le signe de la valeur du déterminant (46). Pour conserver à cette valeur son véritable signe, il faudra donc aussi chaque fois multiplier le déterminant par — i. Le nombre des échanges effectués étant a — i, le facteur multiplicateur sera finalement (— i)a 1 ou, ce qui revient au même, (— i)**1, puisque (— i)2 = i . On peut donc écrire

ra ba ca ... l% r, bx ci ... /, it bt ct ... lt

#a-i ^a-i Col— i aa-t-i va+j Ca-M

Maintenant, supposons nuJs tous les éléments de la ligne a (amenée en tête), à l'exception du premier «a. D'après la formule (i), la valeur du déterminant se réduira d'une part à

A = Àaa«.

D'autre part, on aura, pour cette valeur (51),

ca, . . .

Ca4-i ■ • .

ca-i

ta ,

Ca-n

En comparant les deux valeurs de A, on a donc

CoL-l

CoL+l

*ow-i

On trouve Ba d'une manière identique, en remarquant seulement que, pour faire passer à la fois au premier rang la ligne a et l'élément &a, il faut une permutation de plus entre la première et la deuxième colonne; il faut donc aussi faire croître dhtne unité l'exposant du facteur multiplicateur. On a, par

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

conséquent,

Ca-i •

^oh-i

Ca-hi

On forme de même l'expression de Ca en faisant croître encore d'une unité l'exposant du facteur multiplicateur, puisqu'on doit opérer une permutation de plus entre la première et la troisième colonne, et en faisant suivre ce facteur du déterminant mineur obtenu en supprimant, dans le déterminant primitif, la ligne a et la troisième colonne qui se croisent sur l'élément ca.

La loi est évidente. On voit que les coefficients obtenus sont alternativement positifs et négatifs, ou inversement, suivant le point de départ, et que la formation effective d'un déterminant peut toujours être ramenée à celle de déterminants mineurs de plus en plus simples.

60. En appliquant l'algorithme qu'on vient de démontrer au déterminant du troisième ordre, ordonné suivant les éléments de la première ligne, on a

A = A|<Zi + B,6,-t-C|C|,

c'est-à-dire en faisant a

dans les résultats du numéro pré'

cèdent,

bt bz

°2 —btCi— ctbi9

Bt = (-!)»■«

— — («iC,— c,as),

bt b*

— atbz— bsaz.

On a effectivement

A = at(btcz— c,èj) — b^a^Ci— cta%) -t-c^a,^ — b^at) ruzajéjCa— ajCj&j-hCjffi^, — ^ajCj-f- blcsaz—clbtal.

Le déterminant du quatrième ordre, ordonné suivant les éléments de la première ligne, peut de môme s'écrire immédiatement

ak bs, c± d\>

b3 d3 bk tf4

Il ne reste plus qu'à effectuer, comme nous venons de le faire, les déterminants mineurs qui sont du troisième ordre.

61. Voici encore deux autres exemples. Le premier déterminant est ordonné suivant les éléments de la première colonne; le second, suivant les éléments de la première ligne.

.-- xy' — yx' -+- x' y' — y'x" -r- x" y — y" x.

-aIA' B ' B" -A|B A'|~B