AB2-A'B"-A"B

Le déterminant qu'on vient d'effectuer, et qui joue un rôle important dans la théorie des surfaces du second degré, est un déterminant symétrique. On appelle ainsi tout déterminant dans lequel les éléments conjugués, c'est-à-dire placés symétriquement de part et d'autre de la diagonale du carré des éléments, sont égaux.

62. L'emploi du déterminant du troisième ordre, dont nous avons donné l'expression au n° 60, étant très fréquent, nous indiquerons encore, pour le former, la règle suivante due à Sarrus.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. £j

Écrivons le déterminant, en répétant à sa droite ses deux premières colonnes. Nous aurons le Tableau

at bx Cj ax b{

at bt Ci at b2

On voit alors que les termes positifs du déterminant

(a,62c3, £,c,tf„ cAatb3)

sont donnés par les diagonales complètes qui descendent de gauche à droite, et les termes négatifs

(b^^Cs, aictbZycib1az)

par les diagonales complètes qui descendent de droite à gauche.

Calcul de la valeur d'un déterminant.

63. Pour calculer la valeur d'un déterminant, on peut toujours employer la méthode générale indiquée au n° 58; mais on arrive souvent plus rapidement au résultat en cherchant à ramener directement, à l'aide des théorèmes précédemment démontrés, le calcul du déterminant proposé à celui d'un déterminant mineur d'ordre moindre d'une unité, et en opérant ainsi successivement jusqu'à ce qu'on parvienne à un déterminant mineur du second ordre. Ce déterminant du second ordre s'évalue alors immédiatement, d'après la définition du n° 35 ou d'après la loi de formation générale (58).

Nous avons déjà donné plusieurs exemples de la marche à suivre à cet égard {Alg. élém., 194, 195, 196). Nous en donnerons encore ici quelques-uns, en entrant dans plus de détails.