PQ
72. Il est utile de remarquer, en reprenant le théorème du n° 70, qu'on ne change pas les valeurs des déterminants P et Q en échangeant dans ces déterminants les lignes et les colonnes. Il y a donc quatre manières différentes de former leur produit R.
Soit, par exemple, les deux déterminants du second ordre
et
«1 Pi «* P*
On aura, Tordre adopté dans la multiplication des lignes ne faisant qu'échanger les lignes et les colonnes du résultat (45),
«iai-H^iPi «i«î+£iPî aiocl-hat^l aia,-4-a2Pj | «i^i -H 6, a, «îPi+^iPs I
«,<*!-*- &,«, «,(3,4-6,(3* | aia, + a, a, a^-f-ajP, btOLi+biQLi 6ip1-H^2p2
Pi
a, bt
ax at
Pi
bi b2
<*\ bi
Pi
Les quatre déterminants, obtenus dans les seconds membres des équations précédentes, représentent tous
R = (a1ftt-*1fl1)(aiPi"-Pi«i) [70,39]. 73, Si le second déterminant Q est égal au premier P, on a
Le carré d'un déterminant est donc un déterminant de même degré, et il en est de même de toutes les puissances entières d'un déterminant.
Comme on peut échanger dans P, sans modifier sa valeur, les lignes et les colonnes, il y a trois manières différentes de former son carré P*.
6o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Soit, par un exemple, le déterminant du second ordre
ax bt
at bt
On aura, en ne confondant pas les exposants avec des indices,
bt
asat h- ^j6j
aj-f- 6^2
«i^i 4- bibf
ÛTjfll -h ^2flt
a%bx -h 6*
at
ax
a^! -h at 6,
bl
bt
bt
bt
bx ax -+- £,
D'après la première et la troisième forme, le carré de P est un déterminant symétrique (61) : cette propriété est générale.
74. Nous avons supposé jusqu'ici les déterminants P et Q de môme degré.
Si ces deux déterminants sont de degrés différents et si Q est d'ordre moindre, on n'aura qu'à transformer Q en un déterminant de même degré que P (51) et à appliquer la règle précédente (70).
Si Ton donne, par exemple, les deux déterminants
ax bt cx
I *« Pi
at b% c% a% bz cs
on remplacera le second déterminant par le déterminant identique (51)
«1 Pi o
où les quantités a, et (38 resteront arbitraires. Le produit des deux déterminants prendra la forme
a^t-hbi^i «lai-t-^iPs ax<*i-+- 6i(33-f- Cj
«iai-+-&iPi tf**i-t-&*Pi at«3-+-^sP»H-c,
75. Dans tout ce qui précède, nous n'avons considéré que des déterminants carrés, présentant le même nombre de lignes et de colonnes.
On peut être amené à considérer, nous ne dirons pas des déterminants, mais des tableaux rectangulaires, où il n'y a plus égalité entre le nombre des lignes et celui des colonnes.
La notation des éléments reste la même, et Ton peut, pour distinguer ces tableaux rectangulaires des déterminants carrés ou des déterminants proprement dits, doubler les traits ver* ticaux qui les limitent.
76. Nous allons étendre succinctement le théorème de la multiplication de deux déterminants (70), en considérant deux pareils tableaux rectangulaires formés de m lignes et de n colonnes ou de mn éléments, et nous poserons
.. ft-
bl
■■ bl
Formons alors, comme au n°70, le déterminant des m1 quantités analogues à
c* = a\ b\ + a\b\ -h a? 6} -+-... 4- antbnky
et posons
^m *"m Cm
i° Si m = n, on retombe sur le théorème du n° 70, et Ton a
R = PiQi.
2° Si m est > n, le terme principal de R est
cicïcï...cS = 2(afaîaI...«t*î*5*ï---4ft).
et, en reprenant l'analyse du n° 70, on voit que les indices supérieurs a, (3, y, . . ., jx, en nombre m, devant encore varier
depuis i jusqu'à n, deux au moins recevront toujours des valeurs égales. On a donc nécessairement
3° Enfin, si m est < n9 les indices supérieurs a, (3, y, . . . , /x, en nombre m, pourront toujours recevoir des valeurs inégales choisies dans la suite i, 2, 3, . .., n, et cela autant de fois qu'on peut établir de combinaisons avec n objets pris mk m ou un nombre de fois représenté par (Alg. élém.y 409)
Pour chaque système de valeurs attribuées ainsi aux indices a, (3, y, . . . , fx, on aura à considérer m colonnes du tableau Q, et m colonnes correspondantes du tableau Pt, formant respectivement deux déterminants Q et P. On aura donc évidemment
