R = 2(PQ
le signe 1 embrassant tous les produits PQ qui répondent aux systèmes de valeurs qu'on peut jlonner aux indices a, (3, y, ...,(*.
77. Quelques exemples ne seront pas inutiles pour bien éclaircir ce qu'on vient de dire :
1° Soient d'abord les deux tableaux rectangulaires
bi
bx
et
fc
bt
il «»
On a ici m = 3 et n = 2. Le déterminant R, qui a pour expression (76) ax at -+• bx pt ai a, ■+- bx $t ax aa -4- bt ps
«t«l-+-^Spl «î«t-^^îpj OtOLi-ï-btfa
a8ai-î-£sPi a»aî-t-6ap2 tf«a«H-6sPi
doit donc être nul (76).
On peut, en effet, le décomposer (71) en huit déterminants simples, se partageant en trois groupes. '
Deux sont de la forme
a t aj «j ai ax a8 a\ «i a% aj Oj a8 &z ai ad *î a* as
a\ ai &l
at at a* az as a3
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Trois sont de la forme
«i «i «i «i bx Pi tfjoci «t«j £*ps *«<*i «a«* ^apt I
:~ «lOjpj
Les trois derniers sont de la forme
«i*i ^îPi &iPa ^«i £4p, &,ps
«8«i ^P* ^apa
= *i P« Pa
«t «i bx a% a\ b\ a% a% bt
ax bx bx at bt b% *a bi bz
a0 Soient encore les deux tableaux rectangulaires
ax b\ cx at bt ct
et
ai Pi Ti I
«i Pi Ti !
On a ici m = a et n = 3. Le déterminant R, qui a pour expression (76)
ax a, -4- bx Pi -r- cx yj at a, -4- bx Pi -f- c, y, «i a, -i- ^», Pi -r- cj y, aja, H- £j p, -h c, y,
doit donc être égal à la somme d'autant de produits de déterminants du second ordre qu'on peut faire de combinaisons avec trois colonnes prises deux à deux (76), c'est-à-dire à la somme des trois produits
ax bx
*i Pi
ax cx
at bt
at ct
I «i. Ti I <*« Y*
*i ci I ! Pi Ti bt c% M p, Tl ['
c'est ce qu'il est facile de vérifier (39) en mettant le déterminant R sous la forme
(«i bt — bxat){ a, p, — p, a, )
-h(«ic, — cxat)(%x y, — y, att)-K&i<*--C|6|)(Piiri — YiP»)-
3° Soient enfin, pour terminer, les deux tableaux rectangulaires identiques
ax bx cx <*i Pi Ti
et
ax bx cx <*i Pi Yi
On a encore, dans ce cas, m = a et n = 3. Le déterminant R, qui a pour expression (76)
a\-+-b\~\-c\ «îai-H^ipi-t-ctY!
«i«i-h*iPi+«iYi « +PÎ + YÎ
