X,-VS

-+-XY-Vv

p Xp \p-

et l'on voit alors qu'elle se décompose (56) en deux déterminants dont l'un, formé par toutes les colonnes moins la dernière, est nul comme présentant deux lignes identiques (M), et dont l'autre, formé par toutes les colonnes moins i'avant-dernière, est précisément égal en valeur absolue au déterminant principal $ multiplié par le facteur Xy— Vy (51). On a donc, puisque ô n'est pas nul (87),

Xy-Vy^O

OU

Xy~Vy (y~i,2,3, ...,/>).

Si l'on considère maintenant le déterminant (3'), les solutions qu'on vient de trouver annulent tous les éléments de la dernière colonne, moins le dernier. Les équations (3') se réduisent donc (51) à

ou à

(Xp+a-Vi>+a)3 = o

Xp+a^Vp+a (a = i, 2, 3, . ..,/i— p).

Il résulte de cette analyse que toute solution du système (3, 3') vérifie le système (2). Ces deux systèmes sont bien, par suite, équivalents, et nous pouvons considérer le système (3, 3') à la place du système (2).

Nous allons simplifier le système (3, 3').

Prenons d'abord le déterminant (3) qui est d'ordre p-\-i. Il équivaut, à cause de l'élément 1 de la dernière ligne (51), au déterminant mineur de première classe obtenu en supprimant la dernière ligne et la colonne de rang (3, supposées toutes deux amenées préalablement au premier rang (59). On fera ensuite passer la dernière colonne à la place de la colonne de rang (3 supprimée. Pour ne rien changer à la valeur du déterminant, on devra, à cause de ces échanges (46), le multiplier par les deux facteurs (— i)^?-1 et (— i)p-P,

dont le produit est d'abord