Nous simplifierons l'écriture en posant
X,— aJxjH- a}rxx n-ajîa?, -h. . .-\-à*xp9 Vr=zkr - a^xp^ — ap*xp+t — . . .- a?œm,
c'est-à-dire en mettant les équations (ï) [86] sous la forme
(a) Xr=Vr (r=i, a, 3, ...,*).
Nous considérerons alors les expressions Vt, Vt, V8, ..., Vn, comme les seconds membres des n équations (2). Rien ne sera changé par là au système proposé.
89. Ces préliminaires établis, nous pouvons énoncer la proposition qui renferme toute la théorie des équations du premier degré :
!• Pour que n équations linéaires à m inconnues soient
compatibles, il faut et il suffit que tous les déterminants caractéristiques du système soient nuls ou qu'il n'en existe aucun. 2° Les équations données étant compatibles, le système qu'elles forment admet une solution unique et déterminée, lorsque toutes les inconnues sont principales (auquel cas m = n =/*)• Lorsque toutes les inconnues ne sont pas principales, le système est indéterminé.
90. Nous démontrerons d'abord la première partie de cette proposition.
Formons les deux déterminants suivants, en les égalant à zéro,
«P'aJ« ...
Xp — Vp
... of X,
aP
Ctp+% &P+0L Vp
Dans le premier, nous ferons varier (3 depuis i jusqu'à p, et nous aurons/? équations; dans le second, nous ferons varier a depuis i jusqu'à n—p, et nous aurons /i— p équations. L'ensemble des expressions (3) et (3') constitue donc un système de n équations entre les m inconnues œu xl9
. , xn
Nous allons comparer le système (2) au système (3, 3') et prouver leur équivalence.
Il est d'abord évident que toute solution du système (2) satisfait au système (3, 3'); car, pour celte solution, la dernière colonne de chacun des déterminants (3) et (3') est composée d'éléments nuls, et ces déterminants sont nuls (52).
Réciproquement, toute solution du système (3, 3') satisfait au système (2).
En effet, multiplions respectivement les équations (3), ce qui ne changera pas leurs solutions, par les facteurs
Zy,
y étant l'un des nombres i, 2, 3, ...,/>. Il suffira pour cela de multiplier la dernière ligne du déterminant (3) par le facteur considéré (54), c'est-à-dire de remplacer l'élément 1 de cette dernière ligne par ce facteur. Les nouveaux déterminants obtenus ne différeront que par leur dernière ligne, où tous les éléments sont nuls, excepté le facteur introduit à la place de 1. Par conséquent, (3 devant varier de i à p, ou le rang de la colonne où se trouvait l'élément 1 devant varier de 1 à/?, on n'aura, pour ajouter ces nouveaux déterminants, ce qui est permis (Alg. élém., 122), qu'à conserver toutes les autres lignes du déterminant (3), en remplaçant la dernière par la somme de toutes les dernières lignes des nouveaux déterminants (58) ou, à cause des éléments nuls, par la ligne
<Zy #y a
On a ainsi la relation
Xy— Vy
Xp v,,
■ aPy
En écrivant la dernière colonne comme nous l'indiquons, cette relation devient
al al
