î ° Soit à résoudre le système

5x-h3j — us = i3, 4x — 5j-+- 4z = i8,

Nous avons ici m = n = 3, c'est-à-dire autant d'inconnues que d'équations. Le Tableau des coefficients des inconnues se réduit donc au déterminant de ces coefficients. Le théorème de M. Rouché n'en est pas moins applicable, comme on va le voir.

Si ce déterminant

n'est pas nul, il sera le déterminant principal du système, et il n'existera aucun déterminant caractéristique, puisque toutes les lignes du Tableau auront concouru à la formation du déterminant principal (87).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. -g

Mais, si l'on retranche la deuxième ligne de la troisième (57), il vient

5 3 -ii

5 3 —ii

Le seul déterminant du troisième ordre qu'on puisse déduire du Tableau étant nul, il faut passer aux déterminants du deuxième ordre qu'on en peut tirer. Prenons le premier

qui n'est pas nul et qu'on peut choisir comme déterminant principal. En écrivant au-dessous de ce déterminant les premiers éléments de la troisième ligne du Tableau et, à droite, les termes tout connus qui correspondent aux différentes lignes employées, nous formerons (87) le seul déterminai caractéristique du système. Il est facile* de voir que ce déterminant

n'est pas nul. En retranchant d'abord la deuxième ligne de la troisième, puis la troisième ligne de la première, on a, en effet, successivement, d'après des propriétés connues,

H existe donc des déterminants caractéristiques, et ils ne sont pas tous nuls : il en résulte (89, i°) que le système proposé est incompatible, comme il est facile de le vérifier directement.