IO
L'opération est donc terminée et les résultats sont identiques aux précédents.
177. 20 Développer en fraction continue V irrationnelle v^F, sachant que a est la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans F.
On voit immédiatement que \/¥ est l'une des racines de l'équation du second degré
Les deux racines de cette équation étant de signes contraires devront se développer suivant des fractions continues, périodiques simples ou périodiques mixtes avec un seul quotient avant la période (175). C'est ce dernier cas qui se réalisera toujours. Nous nous contenterons de vérifier le fait sur des exemples particuliers, sans le démontrer d'une manière générale.
Si a1 est le plus grand carré entier contenu dans F, F pourra varier (en le supposant entier) de a} 4-1 à a*-\- 2 a (Arithm., 275). Nous allons considérer les deux valeurs extrêmes en effectuant directement les calculs.
Convertir x = yja% -+- 1 en fraction continue.
La partie entière de x étant a, on a successivement
x = a h- — ? Xi =
#i x — a ^ai + j — #
La partie entière de xx est at = aa. Par suite,
= /a* -hi + a
Xi = 2a H 5 Xj = = = J7|.
L'opération est terminée. Le quotient non périodique est a et la période est formée du terme unique 2 a. On a donc
œ = \Jax ■+- 1 = « h
Convertir x = Jar-^ia en fraction continue.
La partie entière de x étant a, on a successivement
x, x — a y/a*+-ia — a *«
La partie entière de xt est ai = i. Par suite,
^1 — ! v/"* +2fl + fl
La partie entière de xt est at = a a. On a donc
X%= 2.a-h — i X3 = = — =Xt-
L'opération est terminée. La partie non périodique est a, la période est i, 2a, et l'on peut écrire
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. I 5g
178. 3° Trouver des valeurs approchées aussi simples que possible de ^7, eu égard au degré d'approximation obtenu.
Il faut convertir \fî en une fraction continue périodique mixte présentant un seul terme non périodique, comme on vient de le voir, et former les réduites successives, jusqu'à ce que l'on atteigne l'approximation voulue.
Nous nous servirons cette fois des formules générales (173).
L'équation du second degré
Axs-+-aBx-4-C = o
se réduisant à
on a
ce qui entraîne E = o et D = i. F étant égal à 7, la partie entière de x est a = 2. Enfin D t = — C = F = 7. Les formules
(3) En = D/J.-1 an-\ — E«-i ,
(6) D„=D„1^- (En-i-E^an-i
donnent alors successivement :
Pour n = 1,
pour n = 2,
