ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ
179. L'analyse indéterminée du premier degré est une partie importante de la Théorie des nombres.
Son but est le suivant : Étant données m équations à coefficients entiers, positifs ou négatifs, entre m -+- n inconnues x, i
y y z, . . ., trouver les solutions entières de ces équations, c'est- i
à-dire les systèmes de valeurs entières, positives ou négatives i
de &j y y 2, . . . , qui les vérifient.
Nous considérerons d'abord une seule équation à deux inconnues.
Résolution de l'équation ax ■+- by —- c en nombres entiers.
180. On peut supprimer tout facteur, commun à la lois aux coefficients a, b, c, sans altérer les solutions de l'équation. Nous admettrons donc que ces coefficients a, b, c sont premiers entre eux dans leur ensemble (Arith., 120).
181. I. Lorsque les coefficients a et b des inconnues x et y ne sont pas premiers entre eux, V équation ax -+- by — c ne peut admettre aucune solution entière.
Lorsque ces coefficients a et b sont premiers entre eux, l'équation admet nécessairement une solution entière.
En effet, si a et b ont un facteur commun ky différent de i, les valeurs entières de x et de y, quelles qu'elles soient, rendront le premier membre de l'équation multiple de k, tandis que le second membre ne pourra remplir cette condition, a, b, c étant supposés premiers entre eux (180). Soient donc les coefficients a et b premiers entre eux. Puisqu'on peut toujours changer les signes des deux mem-
DeC. — Cours. III. il
bres, il est permis de regarder le coefficient de Tune des inconnues, a par exemple, comme positif. On tire alors de l'équation donnée / \ c—by
On peut toujours effectuer la division de deux nombres entiers, quels que soient leurs signes, de manière que le reste de la division soit positif (Àrithm., 122). Remplaçons donc successivement/, dans la relation (i), par les valeurs
et cherchons les quotients correspondant aux diverses valeurs du second membre, de façon que les restes des divisions effectuées soient tous positifs.
Il est facile de voir qu'on parviendra ainsi à une valeur e«tière de xy et à une seule.
Admettons, pour un instant, que deux valeurs de y appartenant à la suite (2), et que nous désignerons par y' et y\ puissent conduire au même reste r. Les quotients étant g' et q*9 on aurait alors
c — by' = aq' -\- r, c — by" — aq" -+- r ;
d'où l'on déduirait, par différence,
a% qui est premier avec b, diviserait alors ytt — /'; ce qui est impossible, puisqu'on a, d'après (2),
Tous les restes obtenus sont donc différents. Comme ils sont entiers, moindres que a et que l'on exécute a divisions, il en résulte que l'un d'eux est forcément nul.
Si (3 est la valeur de y qui correbpond à ce reste nul, on a
x = !- = a (nombre entier),
d'où
(3) aa-*-6(3=:e,
et l'équation proposée admet la solution entière
1 ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l63
182. IL Lorsque l'équation ax -\-by = c admet une solution entière, elle en admet une infinité.
Puisqu'on a alors (181)
a« + fe{3 = c,
on peut écrire
ax ->rby=zaoL-+- bfi,
d'où l'on déduit
Si Ton désigne alors par 0 un entier indéterminé, positif, négatif ou nul, il suffit que y satisfasse à l'équation
y-$ = aQ9
pour que la valeur correspondante de x soit entière comme celle attribuée à /.
Tous les systèmes de valeurs entières de x et de y, qui satisfont à l'équation
seront donc données par les relations
/ — $ = a9 et x — « — — b9
ou
j = j3-ha0 et x = a — b9,
en faisant parcourir à 6 toute la série des nombres entiers, positifs ou négatifs.
Les valeurs trouvées pour x et pour y forment deux progressions par différence, illimitées dans les deux sens (Alg. élém., 322). L'une de ces progressions, celle qui correspond à y, a pour raison le coefficient de x dans l'équation; V autre y celle qui correspond à x, a pour raison le coefficient de y; mais l'un des deux coefficients est changé de signe.
183. D'après ce qu'on vient de dire, la résolution de l'équation ax-h by = c en nombres entiers revient à trouver une seule solution entière de l'équation.
On peut, pour cela, choisir entre trois procédés, que nous allons indiquer successivement.
l64 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
184. Premier procédé, fondé sur l 'emploi des propriétés des fractions continues.
Réduisons la fraction irréductible j > prise positivement en
fraction continue. Cette fraction continue sera limitée (152).
Soit ît: l'avant-dernière réduite. La dernière sera r- En for- IV b
mant la différence des deux réduites, nous aurons (160, 161)
R aR'— 6R ±i R7 ~~ b\\' "" bW
' c'est-à-dire
aR'-ôR = ±i.
Si nous multiplions par c les deux membres de cette égalilé,
il vient
«R'c— bRc=±c.
En comparant ce résultat à l'équation donnée
ax -+- by = c,
on voit immédiatement qu'on obtiendra une solution entière de cette équation, en posant
x=z±lR'c et jr=qpRc.
Toutes les solutions entières seront ensuite données par les formules (182)
y — zz. Rc h- aBy œ = ± R'c — bO.
