r — io4/ = 8i
En réduisant -^ en fraction continue (171), nous trouverons 104 x '
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l65
Les réduites seront données par le Tableau ci-dessous :
En retranchant Tune de l'autre les deux dernières réduites, on aura donc
et, en multipliant par — 81 5 les deux membres de cette égalité,
77 (— 27.815) — io4(— 2o.8i5) — 81 5.
En comparant ce résultat à l'équation donnée, on voit qu'on obtient une solution entière de cette équation en posant
et
y — — 20. 81 5 = — i63oo.
Toutes les solutions entières cherchées sont alors comprises dans les formules (182)
y-=. — i63oo -+- 77 é
et
x — — 22oo5 -+- 1 o4 0.
186. Remarque. — On peut d'ailleurs toujours simplifier les relations fournies par ce premier procédé, et dans lesquelles les termes indépendants de 9 contiennent comme facteur le terme tout connu de l'équation proposée.
Prenons la valeur de y, par exemple, et divisons i63oo par 77, eiî rendant le reste de l'opération moindre que la moitié du diviseur, s'il ne l'est déjà. Le quotient sera alors obtenu par défaut ou par excès, à une demi-unité près (Arit/im., 122, 232). Comme 0 est un entier quelconque, positif ou négatif, on a le droit de le remplacer par ce quotient pris avec le signe convenable, et l'on est certain d'obtenir ainsi pour y une valeur entière, inférieure en valeur absolue à la moitié du coefficient de x dans l'équation donnée.
i63oo divisé par 77 donne, dans ces conditions, 212 pour quotient et — 24 pour reste, de sorte qu'on a
i63oo= 77.212 — 24 ou 77.212 = i63oo-t- 24.
En faisant 0 — 212 dans la valeur de y, il vient donc
l66 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
La même substitution dans la valeur de x conduit à x = — 22005 -h 104.212 = 43.
On peut donc prendre pour point de départ la solution entière
7 = 24 et x = 43,
et, pour formules générales plus simples,
7 = 244-770 et a? = 43 4-io40.
Cette première solution entière, où Tune des inconnues a une valeur inférieure à la moitié du coefficient de l'autre inconnue, peut être regardée comme une solution minimum.
187. Deuxième procédé, fondé sur l'existence même d'une solution entière.
Ce procédé ne convient que lorsque l'un des coefficients des inconnues est un petit nombre.
Soit l'équation
En la résolvant par rapport à l'inconnue qui a le plus petit coefficient, il vient
271 —qx >- 4
On est alors certain (181) que, si Ton donne à x les valeurs o, 1,2, 3, Tune des valeurs correspondantes de y sera entière. Pour x = 3, on trouve
