r* — 2.r — 3jk H- 1 = o

On en déduit

Nous devrons donc (208) essayer de trouver une solution entière, en

faisant varier x de -+- - à , c'est-à-dire en lui donnant les valeurs

entières 1, o, — 1. Pour x = — 1, on trouve j = 2. L'équation proposée

admet donc une infinité de solutions entières, et les valeurs entières

de x sont renfermées dans la formule (208)

où 0 est un entier quelconque, positif, négatif ou nul.

En substituant cette valeur générale de x dans l'équation donnée, on trouve facilement la valeur générale de l'autre variable

Si l'on ne veut admettre que des solutions entières positives, il faut satisfaire aux deux inégalités

— 1 — 3 0 >o et 90*-+- 80 -h 2 >o. La première exige qu'on ait

et la seconde est satisfaite, quelle que soit la valeur entière donnée à 0,

igO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

parce que les racines du trinôme 9 6* -h 86 4- 2 égalé à zéro sont imaginaires (Alg, élém., 252). On obtiendra donc une infinité de solutions entières positives, en donnant à 6 toutes les valeurs entières négatives à partir de — 1 .

212. 4° Déterminer un triangle rectangle tel, que ses côtés soient exprimés par des nombres entiers et que son aire soit exprimée par le même nombre que son périmètre.

Les côtés de l'angle droit étant x et y, et z l'hypoténuse, on doit avoir

En éliminant z entre les équations (1) et (2), il vient évidemment

ou, en élevant les deux membres au carré,

c'est-à-dire, en simplifiant,

o = —^ xjr(x-+-jr)-+- ixy.

x et jr étant supposés différents de zéro, on peut diviser par xj-, et l'on trouve ainsi

xr

OU

xy — J\x — 4/ -4- 8 = o.

On en tire

Nous devons donc égaler à x — 4 (206) les diviseurs de 8, qui sont : =t 1 , ±*,±4,±=8.

On trouve alors les solutions entières suivantes :

Gomme on doit rejeter les solutions nulles et les solutions négatives, on

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. îyi

n'a à tenir compte que des quatre solutions

Mais, .r étant un côté quelconque de l'angle droit, il n'y a en réalité que deux solutions distinctes :

•r — 5 avec ^ = 12, x = 6 avec y = 8.

L'équation (i) donne, dans la première hypothèse, z = i3, et, dans la seconde, z = 10.