A AE— BD B"*^ B

et pour reste

BDE-(AE»-i-B,F)

11 en résulte (2)

AE-BD BDE-(AE»H-B»F) B* ' B'(Bx-t-E)

ou, en multipliant les deux membres par B* et en posant pour abréger N = BDE — ( AE* -+- B*F),

(4) B\> - -AB* + AE-BD + g^rÉ

Comme x et y doivent être des nombres entiers, positifs ou négatifs, il faut donc que le quotient

B-r-bE

soit lui-même un nombre entier, positif ou négatif, c'est-à-dire que Bx 4- E soit un diviseur de N.

On cherchera, par conséquent, tous les diviseurs du nombre entier N et, en désignant l'un quelconque d'entre eux par A, on posera

B^-hE = zb A, d'où

Lorsque les valeurs de a? fournies par la formule (5) seront entières, il faudra les substituer dans l'équation (4) pour voir si elles correspondent à des valeurs entières de/.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. I 87

L'analyse précédente montre que le nombre des solutions entières est toujours limité et qu'il peut n'en exister aucune.

207. Remarque. — Le reste de la division effectuée peut être nul.

On a, dans cette hypothèse et d'après les équations (2) et (3),

/(Ba?-+-E)~ — A** — J)x — F

ou

{Bx -h E) (Bs7 4- ABa? h- BD — AE) = o.

11 faudra alors poser séparément

B.r-f-E=o, B*j-hAB.r-hBD— AE = o;

et il est évident que, si ces équations admettent une solution entière, il n'y en aura qu'une seule.

Deuxième cas (C — o et B — o).

208. Lorsqu'on a, à la fois, C = o et B = o, la marche qu'on vient d'indiquer doit être modifiée. On a alors simplement

-Ar*— D.r — F (0 7- g

Admettons ^qu'il existe une solution entière correspondant

à x-=± ol et posons

en désignant par 0 un entier indéterminé. Si nous substituons cette valeur de x dans l'équation (1), il vient, en simplifiant,

(2) y=~A*'~I)a~~F--(2Aa-hD)fl--AE02.

Jt!i

Par hypothèse, la quantité

— As2 — Da — F E

est un entier. Il en résulte que, si x =1 a donne une valeur entière de y, x = <xh-E0 en donne nécessairement une nou-

velle, de sorte que V équation proposée admet alors une infinité de solutions entières.

La question est donc ramenée à trouver, s'il est possible, une solution entière.

Or, si a était connue, comme 0 peut être positif ou négatif, on pourrait déterminer 0 de manière que a: = a + EÔ lut

compris entre et — • En d'autres termes, si les solutions

entières existent, il y aura une valeur entière de x, comprise

entre et — > qui donnera une valeur entière de y.

On substituera donc dans l'équation (i) toutes les valeurs

entières de x comprises entre les deux limites et — ;

le nombre des essais ne dépassera pas E; et, suivant que ces essais réussiront ou non, l'équation proposée admettra une infinité de solutions entières ou n'en admettra aucune.

Applications.