CR)Ï
Par conséquent, une seconde expression du nombre de fois que a entre dans le Tableau des combinaisons est fournie par la somme
^(CR)-' + (CR)r, et l'on a finalement
£(CR)^-^-I(GR)r^-(CR)r^
c'est-à-dire
(CR)-=ÎL±^l(CR)5-t.
Si l'on fait successivement dans cette relation/» = 2, 3, 4, •••, n, on a
tCR)«,= ^pi(CR)J„ (CR)i=^-(CR)i, (CR)».= — ^(CR)îi,
(CR)l=m+^ '(CR)S-1-
En multipliant toutes ces égalités membre à membre, en supprimant les facteurs communs et en remarquant que
il vient évidemment, les facteurs du numérateur étant écrits en ordre décroissant,
/nn\n (w+n — i)f/n + /i— a)..i/n + 3)(m-f a)(m+i)m (CK)W= -•
On voit alors immédiatement (221 ) que le nombre de combinaisons avec répétition de m objets pris n h n équivaut au nombre de combinaisons sans répétition dew + /i — i objets pris #i à /i, d'où (226)
On peut mettre la formule sous une autre forme, en complétant les facteurs du numérateur jusqu'à i, c'est-à-dire en multipliant les deux termes de l'expression par le produit
On a alors (217)
(CB)» = (m|+l,-,;!-
236. On peut remarquer enfin que, dans les combinaisons ordinaires dont le nombre est indiqué par C* , l'exposant n est nécessairement moindre que l'indice m; tandis que, lorsque la répétition d'une même lettre est permise, rien n'empêche n de surpasser m.
Par exemple, les combinaisons avec répétition des trois lettres a, b9 c, prises quatre à quatre, seront
aabc, aabb, aacc, bbac, bbcc, ccaby aaaby aaac, bbba, bbbc, ccca> cccb,
aaaay bbbb, cccc.
Permutations, lorsque les objets considérés se partagent en groupes d'objets identiques.
237. Nous admettrons maintenant que, parmi les m objets ou les m lettres données, il y en ait un certain nombre a qui deviennent toutes a, un certain nombre (3 qui deviennent toutes b, un certain nombre y qui deviennent toutes c, etc.
On peut demander quel est le nombre des arrangements,
ou des permutations, ou des combinaisons distinctes formées avec les m objets ou les m lettres ainsi modifiées.
Avec la répétition permise des objets considérés supposés différents, nous venons de trouver des résultats plus grands que ceux qu'on obtient sans répétition. Avec la modification indiquée, nous devrons avoir, au contraire, des résultats plus faibles.
El, en effet, des arrangements, ou des permutations, ou des combinaisons, qui resteraient différentes si les objets proposés demeuraient distincts, se confondront lorsque ces objets deviendront en partie identiques.
Prenons, par exemple, les arrangements deux à deux des trois lettres a, b, c, qui sont
abr ac, ba, bc, ca, cb.
Si Ton suppose que b soit identique à a, ces six arrangements
deviennent
aa, ac, aa, ac, ca, ca
et se réduisent à trois différents
aa, ac, ca.
On a de même, pour les permutations de ces trois lettres a, b, c,
abc, acb, cab, bac, bca, cba.
Quand on suppose b identique à a, ces permutations se transforment en
aac, aca, caa, aac, aca, caa
et se réduisent à trois
aac, aca, caa.
Leur nombre était P3=n . 2 . 3 ; il devient
S'il s'agit des combinaisons des cinq lettres a, b, c, d, e, prises trois à trois (220), qui sont
abc, abd, abe, acd, ace, ade,
bcd, bce, bde,
cde,
elles deviennent, pour b = a,
aac, aad. aae, acd, ace, ade,
acd, ace, ade,
cde
et se réduisent à sept au lieu de dix.
238. Nous nous bornerons à chercher le nombre PjP'T-de permutations de m objets ou de m lettres se partageant en groupes de oc lettres a, (3 lettres b, y lettres c,
Soient d'abord m lettres différentes a, b, c} d, Parmi
ces lettres, rendons-en a égales à a, en les désignant pour un instant par a,, a%, a„ . . ., aa. Formons alors les permutations des m lettres comme à l'ordinaire; nous en obtiendrons un nombre POT.
Appelons x le nombre des permutations distinctes obtenues quand on rend a lettres égales à a. Si, dans ces x permutations, on permute les lettres au at, a3, . . ., aa sans toucher aux autres lettres, chacune d'elles donne naissance à Pa permutations, qui n'en représentent en réalité qu'une seule, puisque at =. at = az = . . . = aa ■= a. Comme on reproduit d'ailleurs ainsi le Tableau des Pm permutations primitives, on a nécessairement
^•* «~ P/«> d*où
Supposons maintenant qu'en faisant a lettres égales à a, on en fasse en outre (3 égales à b, en les désignant, pour un instant, par bu bt, b3, . . ., 6p. Un nouveau nombre de permutations disparaîtra par suite de cette hypothèse. Appelons xt le nombre des permutations qui restent distinctes après cette nouvelle modification.
Si, dans ces xx permutations, on permute les lettres bu bt, b3, ..., b$ sans toucher aux autres lettres, chacune d'elles donne naissance à Pp permutations, qui n'en représentent en réalité qu'une seule, puisque bx =^bt — 63 = . . .= bp = b. Gomme on reproduit d'ailleurs ainsi le Tableau des x permutations précédentes, on a
o?i.Pp=a:,
d'où
En continuant toujours le même raisonnement, on arrive évidemment à la formule générale
P,„ ml
T>tf.y>~ =
PaPpPy a!j3!yl.
Notions fondamentales sur la théorie des probabilités.
239. Sans entrer dans un détail qui serait hors de sa place, nous pouvons dire que l'origine de la théorie des probabilités, ainsi que celle de la théorie des combinaisons, remonte à Pascal (1623-1662), auquel le chevalier de Méré avait proposé deux problèmes sur le jeu (i654).
En raison de l'importance de cette théorie, utile dans toutes les sciences d'observation, noua en exposerons rapidement les premières notions.
240. La réalisation d'un événement quelconque dépend, en général, de certaines conditions qu'on appelle les chances de cet événement : les unes sont favorables, les autres sont contraires à sa production. Par exemple, si l'on désire tirer une figure dans un jeu de 32 cartes, on a 12 chances pour et 20 contre, puisque, dans ce jeu, il y a 12 figures seulement.
Un événement est probable, quand le nombre des chances favorables remporte ; il n'est que possible, quand le nombre des chances contraires est supérieur. Et, à mesure que ce dernier nombre augmente, l'événement devient de moins en moins probable, sans cesser d'être possible.
Si toutes les chances sont favorables, la certitude remplace la probabilité.
241. La probabilité mathématique d'un événement est le rapport du nombre des cas favorables ou des cas désignés au nombre des cas possibles, lorsqu'on les suppose tous également possibles.
Indiquons quelques exemples.
Si une urne renferme 20 boules, 12 blanches et 8 noires, la probabi-
12 3 lité, pour la sortie d'une boule blanche, est représentée par — ou -
et, pour la sortie d une boule noire, par — ou -= •
La probabilité de tirer du premier coup une figure dans un jeu de
12 3 32 cartes est représentée par t~ ou 0 •
De C. — Cours. III. i4
Un dé à jouer présente six faces marquées des points 1,2, 3, 4, 5, 6. La probabilité d'amener un de ces points au premier coup de dé, sur la face supérieure ou sur la face opposée à celle qui repose sur la table, est
égale à g> puisqu'il n'y a qu'une chance favorable sur six supposées
également possibles.
Tout le monde sait que la roue de l'ancienne loterie de France, supprimée en 1839, pouvait amener 90 numéros, dont 5 sortaient à chaque tirage.
Prendre un extrait, c'était désigner un numéro qui devait se trouver parmi les cinq sortants pour qu'on eût gagné. Le nombre des cas possibles était égal au nombre des combinaisons de 90 objets pris 5 à 5, c'est-à-dire (221) à
Le nombre des cas favorables était celui des combinaisons de 90 objets pris 5 à 5, qui contiennent un objet déterminé (227), c'est-à-dire celui des combinaisons de 89 objets pris 4 à 4 ou
La probabilité mathématique de gagner l'extrait était donc égale au rapport des deux expressions précédentes ou à
Sur 18 cas possibles, il y en avait donc 1 favorable à la personne qui prenait l'extrait, et 17 favorables à la loterie. On pariait 1 contre 17. La loterie, équitablement, aurait donc dû payer au gagnant 17 fois sa mise; elle ne la lui payait que i5 fois.
Lorsque, sur les cinq numéros sortants, on désignait deux, trois, quatre ou cinq numéros, on prenait un ambe, un terne, un quaterne ou un quine.
En raisonnant absolument comme nous venons de le faire pour l'extrait, on trouverait :
Pour la probabilité mathématique favorable à la sortie d'un ambe donné,
ou
on pariait 1 contre 399 h-{, et la loterie ne payait au gagnant que 270 fois sa mise ;
Pour la probabilité favorable à la sortie d'un terne donné,
et la loterie ne payait au gagnant que 55oo fois sa mise ; Pour la probabilité favorable à la sortie d'un quaterne donné,
et la loterie ne payait au gagnant que y 5 ooo fois sa mise ; Pour la probabilité favorable à la sortie d'un quine donné,
et la loterie ne payait au gagnant que 1 million de fois sa mise. L'administration avait fini par supprimer le quine.
242. D'après la définition adoptée ( 241 ), la probabilité mathématique reste la même quand on fait croître ou décroître dans un même rapport le nombre des cas favorables et le nombre total des cas possibles. C'est ce qui résulte numériquement de la propriété fondamentale des fractions (Arit/im., 185).
Mais il n'est peut-être pas inutile d'étayer ce résultat d'un raisonnement dû à Laplace.
Concevons deux urnes, l'une renfermant 20 billets blancs et i5 billets noirs, l'autre renfermant le double de billets de chaque couleur, c'està-dire 40 et 3o. Pour montrer qu'il est indifférent au joueur que le tirage se fasse dans la première urne ou dans la seconde, on peut imaginer les billets blancs de la seconde urne, aussi bien que les billets noirs, réunis deux par deux par des fils. On aura ainsi 20 couples blancs et i5 couples noirs. La main qui viendra saisir et extraire un billet en entraînera deux de même couleur au lieu d'un; mais cela ne changera rien aux chances qu'elle a de tomber sur un billet blanc ou noir. D'ailleurs, en vertu des liaisons établies par les fils, le tirage dans la première urne équivaut au tirage dans la seconde, chaque couple de celle-ci remplaçant seulement un billet simple de celle-là.
On peut donc conclure que, dans le cas d'un événement aléatoire, l'apparition de l'événement ne dépend que du rapport du nombre des chances favorables au nombre total des chances, quelle que soit l'expression de ce rapport.
243. 11 faut apprécier avec soin l'importance de ce qui précède au point de vue de la théorie des combinaisons et de celles des probabilités.
Il ne s'agit plus, en effet, de calculer les deux termes d'un rapport, mais le rapport lui-môme. Or les formules combinatoires conduiraient
rapidement, lorsque le nombre des éléments considérés croit un peu, à des calculs pour ainsi dire inexécutables, s'il fallait obtenir numériquement les deux termes de ces formules ; tandis que la valeur approchée du rapport correspondant ne dépend sensiblement que des plus hautes unités entrant dans l'expression de ces deux termes, et peut être évaluée beaucoup plus facilement.
Remarquons, à cet égard, que les éléments à combiner et, a fortiori, les combinaisons elles-mêmes, peuvent être en nombre infini et non assignable, sans, pour cela, que le rapport du nombre des chances favorables au nombre total des chances possibles cesse d'être fini et assignable.
Le calcul de la probabilité mathématique devient ainsi plus vaste que la théorie des combinaisons qui lui sert de fondement, puisqu'il s'applique à des cas où il serait impossible de calculer le nombre illimité des combinaisons.
C'est par cette condition qu'il peut intervenir dans les applications aux phénomènes naturels où le nombre des combinaisons comme celui des chances est, ordinairement, infini, c'est-à-dire où les chances se fondent, en quelque sorte, en un tout ou en une étendue continue.
Dans ce qui va suivre, nous supposerons que les chances sont en nombre fini.
344. D'une manière générale, considérons un certain événement. Soient / le nombre des chances favorables et c le nombre des chances contraires à cet événement; /-+-<? sera le nombre total des chances, supposées toutes également possibles ; et la probabilité p, favorable à l'événement, aura pour expression (241)
La probabilité q, contraire à l'événement, sera, à son tour,
On a
p -+- q = \ ou q = i — p.
Il suffit donc de retrancher de i la probabilité favorable à l'événement, pour obtenir la probabilité qui lui est contraire. Si c est nul, c'est-à-dire s'il n'y a que des chances favorables à l'évé-
f nement, la probabilité favorable est exprimée par le rapport ^ ou par
l'unité'. Ainsi, l'unité' représente la certitude, et toute probabilité p qui n'équivaut pas à la certitude est exprimée par une fraction proprement dite.
245. Remarquons que nous n'entendons parler ici que de la probabilité mathématique, applicable aux chances égales susceptibles d'être évaluées exactement et numériquement.
La probabilité morale, où les déductions numériques font place à des hypothèses impossibles à vérifier logiquement et à des intuitions de l'esprit, est tout autre chose.
246. Examinons le cas où un événement peut avoir lieu dans diverses hypothèses ou dans différents cas dont les probabilités sont inégales.
Supposons, par exemple, qu'une urne renferme n boules blanches, n' boules rouges et n' boules noires, avec un nombre quelconque de boules d'autres couleurs, de manière que le nombre total des boules soit N.
La probabilité d'amener du premier coup une boule de l'une des trois couleurs indiquées sera évidemment (241) le rapport
OU r:+r:+r'
On a donc cet énoncé : Lorsqu'un événement peut se produire dans diverses hypothèses dont les probabilités sont inégales, la probabilité de cet événement est la somme des probabilités des hypothèses favorables à l'événement.
247. Au lieu de probabilités absolues comme les précédentes, on peut avoir à considérer des probabilités relatives.
Supposons, dans l'exemple précédent, qu'on ne tienne compte que des tirages amenant une boule blanche, une boule rouge ou une boule noire. On peut demander quelle est la probabilité d'amener plutôt une boule blanche qu'une boule rouge ou une boule noire. Ce sera une probabilité relative qui aura évidemment pour valeur (241 )
La probabilité relative d'un événement désigné parmi plusieurs autres est donc le rapport de la probabilité absolue de V événement désigné à la somme des probabilités absolues de tous les événements comparés.
248. Un événement peut résulter du concours de plusieurs autres. Sa probabilité devient composée en raison des événements dont il dépend. Il y a alors deux cas à distinguer.
249. i° Les événements supposes simples dont dépend V événement composé sont indépendants entre eux.
Supposons, par exemple, deux urnes renfermant : la première, m boules
2l4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
blanches et n boules noires, la seconde, m! boules blanches et ri boules noires. On demande quelle est la probabilité de tirer successivement de chaque urne une boule blanche.
Le nombre des chances favorables est le nombre des arrangements qu'on peut former en plaçant après chaque boule blanche de la première urne chaque boule blanche de la seconde, c'est-à-dire
Le nombre total des chances est le nombre des arrangements qu'on peut former en plaçant après chaque boule de la première urne chaque boule de la seconde, c'est-à-dire
(m -h n)(ni -+- iï ').
La probabilité de l'événement désigné ou la probabilité composée est donc
mrri __ m ni
(m •+- n)(m'-^~ ri) ~ m •+- n m'-\-ti
On a donc pour résultat le produit des deux probabilités favorables à l'existence des deux événements simples qui constituent l'événement composé.
On peut généraliser en considérant plus de deux urnes et dire que la probabilité' d'un événement composé d'un nombre quelconque d'événements simples indépendants est le produit des probabilités des événements simples.
Par exemple, la probabilité de tirer un as d'un jeu de 32 cartes étant
— ou - , la probabilité de tirer successivement un as de trois jeux de
3 a cartes séparés sera
iii i
8'8'8 °U 5is'
Dans l'ancienne loterie génoise, une urne contenait 90 boules portant les n08 1, 2, 3, 4, .. ., 90. Le tirage d'une boule désignée répondait à l'extrait simple, celui de deux boules à Yambe, etc. L'ambe devenait déterminé, lorsqu'on indiquait en outre l'ordre de sortie des deux numéros. La probabilité de sortie du premier numéro indiqué était — »
celle du second numéro était évidemment — • Par suite, la probabilité de l'événement composé avait pour valeur
Quand on jouait sur l'ambe déterminé, on avait donc une chance pour gagner contre 8009 pour perdre.
290. 2° Les événements supposé? simples dont dépend l'événement composé ne sont pas indépendants entre eux,
11 faut alors tenir compte de la succession des événements simples dans l'évaluation de la probabilité de l'événement composé.
Soit une urne contenant N boules, dont n sont blanches. Quelle est la probabilité d'amener successivement 2 boules blanches, sans remettre la première tirée *
Le nombre des chances favorables est le nombre des arrangements a à 2 des n boules blanches ou
Le nombre total des chances est le nombre des arrangement» a à 2 de toutes les boules ou
La probabilité composée est donc
^ est la probabilité du premier événement simple. Gomme on ne remet
pas dans l'urne la première boule blanche tirée, il n'en reste plus que
/* — 1 , sur N — 1 boules en totalité ; ., est donc la probabilité du
deuxième événement simple dépendant du premier.
On peut facilement généraliser le résultat obtenu, en supposant qu'on doive tirer successivement de l'urne plus de deux boules blanches, sans en remettre aucune.
Quand les événements simples ne sont pas indépendants, la probabilité de l'événement composé est donc le produit de la probabilité du premier événement simple, d'abord par la probabilité du deuxième événement simple quand le premier a eu lieu, ensuite par la probabilité du troisième événement simple quand les deux premiers ont eu lieu, etc.
Par exemple, la probabilité d'extraire successivement les trois figures de carreau, dans un ordre quelconque, d'un jeu de 32 cartes, est représentée par le produit
JL - L — ' 32 3i 3o ~~ 4960
De même, la probabilité de tirer successivement l'as, le deux et le trois dans un paquet de 1 3 cartes de la même couleur, pris dans un jeu de 5x cartes, est représentée par le produit
2l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
254. Un événement composé peut avoir lieu, comme un événement simple (246), dans diverses hypothèses ou dans différents cas dont les probabilités sont inégales.
Soient, par exemple, deux urnes, Tune contenant m boules blanches et n boules noires; l'autre, m! boules blanches et ri boules noires. Quelle est la probabilité d'amener une boule blanche en tirant au hasard dans la première ou dans la seconde urne ?
La probabilité de commencer le tirage par la première urne est évidemment - (241 ). La probabilité d'en tirer en outre une boule blanche
est, de même,
Ainsi,- relativement à la première urne, la probabilité composée est
2 171 -h il
Le même raisonnement donne, pour la seconde urne, la probabilité composée
La probabilité d'amener, dès le premier tirage, une boule blanche, est donc finalement (246)
\ m î rri
•2 m-+- n 2 m' -+- ri
La probabilité d'amener une boule noire serait
La somme des deux probabilités est égale à i; et, en effet, il y a certitude qu'on amènera une boule blanche ou une boule noire.
En généralisant, on peut dire que la probabilité d'un événement cornposé, qui a des probabilités inégales dans différentes hypothèses, est la somme des probabilités composées obtenues dans chaque hypothèse,
252. On aurait pu être tenté, dans la question précédente, de prendre pour probabilité du tirage d'une boule blanche dans l'une ou l'autre urne le rapport du nombre total de boules blanches contenues dans les deux urnes au nombre total des boules considérées, savoir (241)
On aurait ainsi négligé l'influence de la répartition inégale des boules
dans les deux urnes, et l'on voit que l'on aurait commis une grave erreur.
Si, au contraire, la répartition des boules était identique dans les deux
urnes, les deux formules, comme cela doit être, conduiraient au même résultat.
253. Avant de terminer ces premières notions que nous compléterons plus loin, il n'est pas inutile de remarquer que des considérations spéciales, tirées des conditions physiques ou intrinsèques de la question peuvent, dans certains cas, dispenser de toute formule et de tout calcul. Ces simplifications spontanées, qui tiennent au fond même du sujet, se présentent dans toutes les branches des Mathématiques, et nous en donnerons ici un exemple.
Le jeu à* passe-dix consiste à jeter trois dés sur une table. Le joueur gagne si la somme des points ainsi amenés surpasse dix. On demande la probabilité qu'il a de gagner ou de perdre.
Comme chaque dé présente six faces marquées comme nous l'avons dit (241), et que la répétition du même résultat sur la face supérieure de chaque dé est admise, le nombre des arrangements possibles des six numéros pris 3 à 3 est (232) 63 ou ai 6.
11 faudrait, pour décider, énumérer, parmi ces 216 arrangements, ceux pour lesquels il y a passe-dix. Le rapprochement suivant résout immédiatement le problème sans aucun calcul.
Les points des dés à jouer se correspondent, de manière que leur somme, sur deux faces opposées, est toujours sept. Quand on jette les trois dés, la somme des points qui se trouvent sur leurs faces supérieures et sur les faces opposées reposant sur la table est toujours -vingt et un. Par conséquent, si la somme des points supérieurs passe dix, la somme des points inférieurs remplit la condition contraire, et inversement. Il en résulte qu'à chaque arrangement qui fait gagner le joueur en répond un autre, écrit sur les faces opposées, et qui le ferait perdre si les dés tombaient en se retournant. La probabilité de gagner
ou de perdre est donc la même, c'est-à-dire égale à - •
2l8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
