FORMULE DU BINOME. - TRIANGLE ARITHMÉTIQUE DE PASCAL

Formule du binôme.

251. Nous nous proposons de trouver le développement de ( x 4- a)m ordonné suivant les puissances décroissantes de x, m étant un exposant entier- et positif. Ce développement si important porte le nom de formule du binôme. Nous rétablirons à l'aide de la théorie des combinaisons.

Nous avons vu (Alg. élém., 29) que le produit de n polynômes s'obtient en formant tous les produits n à n (213) des termes des polynômes proposés, c'est-à-dire que, dans chaque terme d'un de ces produits, il doit entrer comme facteurs un lerme du premier polynôme, un terme du deuxième, un terme du troisième, . . ., un terme du nième.

Appliquons cette règle à la formation du produit des m binômes

où tous les premiers termes sont égaux à a; et où tous les seconds termes sont différents^ et supposons qu'on ordonne le produit par rapport aux puissances décroissantes de .r.

En prenant les m premiers termes des m binômes, on a évidemment xm.

En prenant le premier terme x dans m — i binômes et le second terme a, b, c, . . ., ou /, dans le /nième binôme, on obtient des termes de la forme axm-x; et la somme de tous ces

termes est

Si l'on représente par St la somme de tous les seconds termes des binômes, le terme en xm-1 du développement prend la forme Si^'"-1.

En prenant le premier terme x dans m — 2 binômes et les seconds termes a et b, a et c, a et d, . . . , ou k et /, dans les deux binômes restants, on obtient des termes de la forme abjcm-*; et la somme de tous ces termes est

(ab -h ac -+- ad -h . . .-+- */).*?'"-*.

Si Ton représente par S, la somme des produits 2 à 2 des seconds termes des binômes, le terme en x"1-* du développement prend la forme Sta?w-f.

* Si Ton représente par S, la somme des produits 3 à 3 des seconds termes des binômes, on voit de même que le terme en xm~* du développement est de la forme Sa*"'-*8.

D'une manière générale, si Ton prend dans m — n binômes leur premier terme x et, dans les n binômes restants, leur second terme, on obtient des termes en xm~n; et la somme de tous ces termes ou le terme en xm~n du développement a pour expression Snxm-n, en représentant par S„ la somme des produits n à n des seconds termes des binômes.

On obtient enfin le terme de degré o par rapport h x en prenant les m seconds termes des m binômes. Ce terme, produit des m seconds termes, est abcd. . .kl, et on le représentera par Sm.

Nous aurons donc finalement l'égalité

255. Supposons maintenant, dans l'égalité précédente, tous les seconds termes des binômes égaux à a.

Le premier membre devient évidemment (x -+- a),n. Il faut chercher ce que deviennent dans le second membre les quantités Si, Sj, . . . , S„, . . . , S/rt.

St est la somme des seconds termes des binômes; ces seconds termes devenant tous égaux à a et leur nombre étant m, on a

Si ~.~ ma.

S, est la somme des produits 2 à 2 des seconds termes des m binômes ou la somme des combinaisons 2 à 2 formées avec ces seconds termes. Ces seconds termes devenant tous égaux à a, toutes les combinaisons deviennent égales à a*. S, repré-

sente donc le produit de a* par le nombre des combinaisons de m objets pris 2 à 2, et Ton a (221)

On trouve de même

__ m(m — i)(re — 2)

D'une manière générale, S„ est la somme des produits n à n des seconds termes des m binômes ou la somme des combinaisons n à n de ces seconds termes. Ces seconds termes devenant tous égaux à a, toutes les combinaisons deviennent égales à an; S„ représente donc le produit de an par le nombre des combinaisons de m objets pris n à n, et l'on a (221)

Enfin, Sm, représentant le produit des m seconds termes des binômes, devient égal à am9 et Ton peut écrire

(x +a)w = xm-\ axm~l -+- — — — a,o;/n-î+. . .

H — ^ — - - anxm-n 4-. . .

H am-lx -{- a,n.

C'est la formule du binôme, dans le cas d'un exposant entier et positif.