a4 x3 H- 2ia*xi+ ja*x -ha

on peut en déduire immédiatement

(x ■+- a)*— x84- (7 4- \)axn

4- (21 4-7 )a*x* 4- (35 -h 21) a* x* -h (35 -±- 35)a*.r* -+- (21 4- 35)a5.r3 -h (7 4- 21) a6 .r* -h (1 -i- 7)a7x -h a8, c'est-à-dire

Triangle arithmétique de Pascal.

268. Pascal a donné dans la construction de son triangle arithmétique, et sous une forme originale, l'équivalent de la formule du binôme qu'on attribue souvent à Newton.

En réalité, Newton ne Ta découverte que quelque temps après Pascal; mais ce dernier, en laissant de côté l'emploi des symboles algébriques, s'est privé des avantages considérables attachés à cet emploi.

269. Considérons le binôme a: h- a, et élevons-le aux puissances 1, 2, 3, . . ., m,

Écrivons régulièrement, sur des lignes horizontales successives, les coefficients de chaque développement.

Nous formerons ainsi le Tableau suivant, dont la disposition est un peu différente de celle adoptée par Pascal dans l'opus-

ALGÈBRE SUPÉIlIEUIir.

cule intitulé : Usage du triangle arithmétique pour les parties de feu.

IO

IO

IO

'cï

Une fois qu'on a écrit les deux premières lignes horizontales (ou même seulement la première), toutes les autres s'ensuivent immédiatement d'après le théorème rappelé au n° 267 et exprimé par la relation fondamentale

Cn — pn-i

D'après cette relation, en effet, chaque coefficient du Tableau doit être égal au coefficient immédiatement supérieur augmenté de celui qui est placé à gauche.

Ainsi, dans la troisième ligne horizontale, le deuxième terme 3 çst la somme du terme 2 qui est au-dessus, et du terme 1 qui précède 2 ; le troisième terme 3 est la somme de 1 -h 2; le quatrième terme 1 est la somme de o -h t. On continuera de la même manière pour former successivement les autres lignes. 11 est peut-être plus commode de renverser l'ordre, c'est-à-dire d'effectuer les calculs en allant de gauche à droite. On dira, par exemple, pour la quatrième ligne : o -h i = 1, i + 3 = 4, 34-3 = 6, 3 + 1 = 4, 1+0 = 1.

270. Une fois le triangle arithmétique construit, nous ferons complètement abstraction de la première colonne verticale ou de la colonne des unités. C'est ce que nous avons marqué par le trait de séparation indiqué.

Cela posé, comme les différents nombres de combinaisons qui servent de coefficients dans le développement du binôme ne commencent qu'au deuxième terme, on voit, d'une manière

générale, que la mièmo ligne horizontale du triangle renferme les nombres de combinaisons de m objets pris i à i, 2 à 2, 3 à 3, . . ., m à m, tandis que la /«ième colonne verticale renferme les combinaisons n à n de n, n -\- 1, n 4- 2, ... objets. À la rencontre de la mièmo ligne horizontale et de la /*it>mc colonne verticale, on trouve donc le nombre de combinaisons de m objets pris n à n ou C",.

En d'autres termes, le rang d'une ligne horizontale, indiqué évidemment par son premier terme, est l'indice des nombres de combinaisons qui s'y trouvent, tandis que le rang d'une colonne verticale, marqué évidemment par celui de la ligne horizontale où elle commence, est l'exposant des nombres de combinaisons qu'elle renferme.

271. Les termes de la première colonne verticale du triangle, toujours abstraction faite de la colonne des unités (270), sont dits nombres figurés du premier ordre; ceux de la deuxième colonne verticale, nombres figurés du deuxième ordre, ... ; ceux de la nièmc colonne verticale, nombres figura du nième ordre.

Les nombres figurés du premier ordre sont les nombres naturels. Les nombres figurés du deuxième ordre sont encore appelés nombres triangulaires, et ceux du troisième ordre, nombres pyramidaux, etc. Nous verrons bientôt la raison de ces dénominations.

272. Si Ton considère de gauche à droite deux colonnes verticales successives du triangle, sa loi de formation (269) montre immédiatement qu'un nombre quelconque de la seconde colonne est égal à la somme de tous les nombres qui, clans la colonne précédente, sont situés au-dessus de la ligne horizontale à laquelle appartient le nombre choisi dans la seconde colonne.

Prenons, par exemple (269), le nombre ibi dans la cinquième colonne verticale du triangle. Nous aurons successivement (269)

252 = 1 26 -+- 1 26, 1 26 = 56 -f- 70, 56 = 2 1 -h 35, 2i = 6-hj5, 6 = i-+-5, i = o-f-i,

c'est-à-dire, en ajoutant toutes ces égalités membre à membre

et en simplifiant,

En d'autres termes, /e /?/é/wc nombre figuré du nième ordre (271 ) es/ «?#«/ à la somme des p nombres figurés du {n — i)iè,ne ordre qui lui sont supérieurs.

En admettant que le pième nombre figuré du nième ordre appartienne à la wièm0 ligne horizontale, ce résultat correspond précisément à la formule généralisée du n° 231, savoir

qui est, à proprement parler, le fondement du triangle arithmétique.

273. Proposons-nous enfin de chercher l'expression du pième nombre figuré du niè,ne ordre.

La nlèmc colonne verticale, qui contient les nombres figurés du nièmc ordre (271), commence à la nièm* ligne horizontale (270). Le pièmc nombre de cette nil'me colonne verticale appartient donc à la (n -\-p — i)ièm0 ligne horizontale, et il a pour expression (270, 226)

r>n — rp-\

c'est-à-dire (221)

__ (/t+/?~l)(fl+/?~2)(/t+jP"3)...(/trl) I .2.3. . .(p — I)

274. Nous allons montrer comment on peut appliquer le triangle arithmétique à la solution de plusieurs questions intéressantes.

i° Somme des m premiers nombres naturels. — Cette somme est celle des m premiers nombres figurés du premier ordre : elle est donc égale (272) au mième nombre figuré du deuxième ordre.

Pour trouver ce nombre, il suffit de faire /?= m et n = 2 dans Tune des formules du n° 273, la première, par exemple. On trouve ainsi, pour la somme des m premiers nombres,

résultat déjà connu (Alg. élém., 330).

23o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

a0 Somme des carrés des m premiers nombres naturels. Nous ferons usage de la transformation suivante. Soit Tidentité

, , x x(x — i) #'=: x-h x(x — i) = ar-f- 2 — -•

Si on la rapproche du résultat précédent (i°), en remplaçant successivement x par i, 2, 3, ..., m9 elle prouve évidemment que la somme demandée est égale à la somme des m premiers nombres naturels, augmentée du double de la somme des m — 1 premiers nombres figurés du deuxième ordre, c'est-à-dire du (m — i)ièmfl nombre figuré du troisième ordre (272). Pour obtenir ce dernier nombre, il faut d'ailleurs faire, dans Tune des formules du n° 273, p -=. m — 1 et n = 3; ce qui donne

On trouve ainsi, pour la somme des carrés des m premiers nombres,

m(m-hi) (#w -4- 1) /w(/w — 1) /n(w+i)(2m-fi)

3° Somme des cubes des m premiers nombres naturels. — Une transformation est encore ici nécessaire. Soit Tidentité

X*-=.X-\- Xix1— i) rr: X -+- 6 \ -•

Si on la rapproche du calcul précédent (20), en remplaçant successivement x par 1, 2, 3, . . . , m, elle prouve évidemment que la somme demandée est égale à la somme des m premiers nombres naturels, augmentée de 6 fois la somme des (m — 1) premiers nombres figurés du troisième ordre ou de 6 fois le (m — i)ièmo nombre figuré du quatrième ordre (272). Pour obtenir ce dernier nombre, il faut d'ailleurs faire, dans l'une des formules du n° 273, p = m — i et /* — 4; ce qui donne

On trouve ainsi, pour la somme des cubes des m premiers nombres,

ou

ïm(m -t-i)~1*

Ce résultat montre que la somme des cubes des m premiers nombres est égale au carré de la somme de ces m premiers nombres.

Sans aller plus loin, on voit que, par l'artifice employé, le triangle arithmétique permettrait de déterminer de proche en proche les sommes des puissances semblables des m premiers nombres.