AA'A''>BB'B
On voit que la démonstration serait en défaut si les quantités considérées n'étaient pas toutes positives.
Comme rien n'empêche de supposer tous les premiers membres des inégalités données égaux entre eux, ainsi que leurs seconds membres, on voit qu'on peut élever à une même puissance les deux membres d'une inégalité lorsqu'ils sont positifs. De A >> B, on déduit
Réciproquement, de A" > B*", on peut déduire
en supposant A et B pris positivement.
ÀLGÈBUE ÉLÉMENTAIRE. 47^
On ne peut pas multiplier membre à membre deux inégalités de sens contraire. Si Ton a A > B el C <D, on ne sait pas d'avance si AC sera supérieur ou inférieur à BD.
VIL On peut diviser membre à membre deux inégalités de sens contraire, lorsqu'elles ont lieu entre quantités positives*
Si Ton a A > B el C < D, on en déduit
AD>BC et ^>^,
c'esl-à-dire
La démonstration serait en défaut si les quantités considérées n'étaient pas toutes positives.
On ne peut pas diviser membre à membre deux inégalités de
même sens. Si l'on a A>B et C>D, on ne sait pas d'avance
si jT J CRiportera ou non sur =r«
218. Il convient de remarquer, en terminant, que la définition donnée au n** 214 est imposée par les conditions nécessaires de généralisation sui lesquelles nous avons insisté au n^ 32.
Si Ton part de l'inégalité
(1) a -4- b^ r -h dy
on en déduit immédiatement, en retranchant ^ + c des deux membres,
(2) n — c'^fl-^b.
Si les hypothèses particulières adoptées conduisent k b = d et, par conséquent, à a > r, l'inégalité (a) devient
Si l'on suppose, au contraire, a = c, on b nécessairement ^ > r/ d'après rinégalité (i),el l'inégalité (2) devient
Enfin, si Ton a /? < c, on a encore, à plus forte raison, b"^ d^ et la différence entre b et d doit être, d'après l'inégalité (i), plus grande que la différence entre c et a.
On voit donc que, pour qu'on puisse passer, dans tous les cas, de Tinégalité (i) a l'inégalité (2), c'est-à-dire pour que le calcul des inégaliiés conserve toute sa généralité^ il faut précisément admettre la loi de gradation établie par définition entre les grandeurs réelles au n°214.
474 ALGÈBRE ÉLÉMEH TAIRE.
Ces grandeurs forment ainsi une série croissanle qui va de — « à + 00 , le passage des quantités négatives aux quantités positives s'eflectuant par zéro, limite commune des nombres négatifs croissants et des nombres positifs décroissants. Comme Tindique Ddhajibl dans son dernier Ouvrage sur les Méthodes, on n'entend pas par là c qu'il existe des quantités moindres que rien », et l'inégalité qui semble le dire n'est a qu'une forme sans danger a, qu'on peut modifier dès qu'on le juge convenable. D'après ce qu'on vient de voir, — 3 < o, par exemple, équivaut à 3 > o, et — 3 > — 7 équivaut à 7 > 3.
Inégalités dn premier degré à nue on denz inconnnes.
219. Lorsqu'une égalité renferme une inconnue au premier degré, on peut déduire de cette inégalité une /imi7e supérieure ou inférieure que l'inconnue considérée ne doit pas dépasser dans un sens ou dans l'autre.
Il est évident qu'on ne change pas les valeurs des inconnues qui satisfont à une inégalité donnée en lui faisant subir les changements précédemment indiqués (215). Par conséquent, on peut, pour ces inégalités comme pour les équations, transposer des termes d'un membre dans l'autre à la condition de changer leurs signes; on peut aussi chasser les dénominateurs ou supprimer les facteurs communs de la même manière, en ayant soin de renverser le sens de l'inégalité si le dénominateur commun ou le facteur commun supprimé est négatif. Nous supposons que le dénominateur commun ou le facteur commun ne renferme pas les inconnues.
220. Quelle que soit l'inégalité proposée» on peut toujours la ramener à la forme
On en déduit
d'où
c'est-à-dire
Aar-!-B>A'ar-l-B'.
A^- A'ar>B -B,
(A-A')ar>B'-B,
X >> r7 si A est supérieur à A',
et
X < -r si A est inférieur à A'.
, ALGÈBBE ÉLÉMBNTAlllE. 4?^
B'— B Dans le premier cas, -7 est une limite inférieure de x :
X peut recevoir toutes les valeurs plus grandes, mais aucune
B'— B plus petite. On dit alors que ■ ^ . > est un minimum de x.
Dans le second cas, . __^ ., est une limite supérieure de x : X peut recevoir toutes les valeurs plus petites, mais aucune plus grande. On dit alors que t--77 est un maximum de x.
221. Si X doit satisfaire à plusieurs inégalités et si elles donnent des limites de même sens, on n'a évidemment besoin qae de considérer la plus petite ou la plus grande de ces limites. Si Ton trouve x^ a, x'^ b, x'^ c, el s\ c est la plus grande des trois quantités a, 6, c, la valeur c représente le minimum de x. Si l'on trouve, au contraire, x<ia% x<Cb\ X <C ^i et si cf est la plus petite de ces trois quantités, pour que toutes les conditions imposées soient remplies, il faut regarder d comme le maximum de x.
Si Ton obtient à la fois ar> m et a7<;p, et si /i surpasse m, on en conclut que x ne peut recevoir que les valeurs com' prises entre ces deux limites : m est son minimum, p son maximum.
Si l'on obtient à la fols x^m elx<Cp, mais si p est inférieur à m, les deux conditions imposées sont contradictoires: il n'y a pour x aucune valeur possible.
222. S'il s'agit de deux inégalités du premier degré à deux inconnues, il faut remarquer que l'on peut bien conclure, des inégalités A > B et C> D, l'inégalité
A-hC>B4-D,
c'est-à-dire que les valeurs des inconnues qui rendent A >> 6 et C >• D rendent aussi A -f- C > B -h D; mais on ne peut pas affirmer que les deux systèmes
d'une part, et
476 ALGÈBUE ÉLÉMENTAIRE. ^
de Taulre, soient équivalents» parce qu'on ne peut pas con* dure du second système la condition C>D (216, IV). On ne peut donc plus opérer^ comme pour les équations, par voie d'addition ou de soustraction.
Si Ton a, par exemple, tes deux inégalités
4ar — 37>ii,
