CHAPITRE PREMIER
cârrë et racine carrée des quantités algébriques.
Remarques préliminaires.
223. Nous rappellerons d'abord plusieurs règles connues (voir Livre premier. Chapitre VII), en les appliquant aux radicaux du second degré :
i^ On élève un monôme au carré en élevant son coefficient au carré et en doublant les exposants des lettres qui y entrent (21); on extrait la racine carrée d'un monôme en extrayant la racine carrée de son coefficient et en divisant par 2 les exposants des lettres qui y entrent.
2^ On élève au carré un produit de plusieurs facteurs en élevant chacun d'eux au carré; on extrait la racine carrée d'un produit de plusieurs facteurs en extrayant la racine carrée de chacun d'eux (73).
3^ On fait entrer un facteur sous un radical carré en élevant ce facteur au carré; on fait sortir un facteur d'un radical carré en extrayant la racine carrée de ce facteur.
4'' On élève une fraction au carré en élevant ses deux termes au carré; on en extrait la racine carrée en extrayant la racine carrée de ses deux termes (74).
S"* On élève un radical carré à une puissance en élevant à cette puissance la quantité qu'il recouvre (75).
478 ALGEBUE ÉLÉMEIVTÀIIIE.
6^ On extrait la racine d'un radical carré en multipliant son indice par celui de la racine à extraire [76].
7'' On élève un binôme au carré en formant le carré du premier terme, le double produit du premier terme par le seco id, le carré du second terme (30).
Il en résulte qu'on peut trouver les deux ternies d'un binôme lorsqu'on connaît les deux premiers termes de son carré • On obtient le premier terme du binôme en extrayant la raxsine carrée du premier terme de son carré; on obtient son second terme en divisant le second terme de son carré par le double de la racine carrée du premier terme.
Ainsi, les deux premiers termes du carré d'un binôme étant
x^-hpx, le premier terme du binôme est v^ ou x, le second
px p terme est ^-— ou ^«
S** Le produit de la somme de deux quantités par leur différence est égal à la différence des carrés de ces quantités (30). On a
{^'\-\Jb){s/a^^)'^a-b.
g"" La racine carrée d'une quantité positive est susceptible
d'un double signe (70). On a ^4==^ ^> parce que + 2 ou — 3 élevé au carré reproduit 4-
10° La racine carrée d'une quantité négative n'est susceptible d'aucune expression positive ou négative : c'est une
quantité imaginaire (70). v^— 4 est une quantité imaginaire. On
peut l'écrire v/4 X — i. Si Ton convient alors d'appliquer aux expressions de cette forme les mêmes règles de calcul qu'aux radicaux carrés recouvrant des quantités positives, on peut extraire séparément la racine de chaque facteur et poser
On voit qu'on peut ainsi toujours réduire le signe d'imaginarité
au symbole v^— i. On représente généralement ce symbole par la lettre 1. On a donc
ALGÈBRE ÉLÉMENTÀIUE. 479
Carré d'an polynôme.
224. Nous savons former le carré d'un binôme, cherchons le carré d'un trinôme a-Hè-t-c. On peut le considérer comme un binôme dont le premier terme est a + 6. On a alors
(a-h 6-t- c)* = (a -f 6)»4- 2(a-+- A)c-h c» ou
(a-h 6-f- cj'==a'-i- Tkah 4- 6' -H aac 4- 26c-!- c*.
Le carré d'un trinôme est donc égal au carré du premier terme ^ plus le double produit du premier terme par le second^ plus le carré du second^ plus le double produit de chacun des deux premiers termes par le troisième, plus le carré du troisième.
Si un terme e/ s'ajoute aux précédents, on a évidemment
(a -4- 6 4- r -h rf)' = (a -h 6 -h c)' -h 2 ( a -4- 6 -f- c) rf 4- rf».
Par l'introduction d'un nouveau terme, on ajoute donc au dé* veloppement le double produit de chacun des premiers termes par le dernier, plus le carré de ce dernier. La loi est manifeste.
On peut l'énoncer en disant que le carré d'un polynôme renferme les carrés de tous ses termes et les doubles produits de tous ses termes pris deux à deux.
Cette loi ayant été vérifiée dans le cas d'un binôme et d'un trinôme, il suffit d'ailleursy pour en prouver la généralité, de démontrer que, si elle est vraie pour un polynôme de n termes (a-i-64-c4-. . .4- A"), elle l'est nécessairement pour un polynôme contenant un terme de plus, tel que /. On a, en effet, en regardant les n premiers termes du nouveau polynôme comme n'en formant qu'un seul,
(a -4- ft 4- c H- . . . -H A" -I- /)'
Le dernier terme du second membre est /', et la première parenthèse de ce même membre renferme, par hypothèse, les carrés des n premiers termes du nouveau polynôme; elle renferme aussi les doubles produits de ces n premiers termes considérés deux à deux, tandis que la seconde parenthèse contient leurs doubles produits par/. La règle est donc justifiée.
48o ALGEBRE ÉLéMEKTAinE.
225. Si Ton considère un polynôme ordonné (a-f-6-t-cî4-...), on peut remarquer que les deux premiers et les deux derniers termes de son carré ne se réduisent avec aucun autre et restent dans le développement tels qu'on les a trouvés.
En effet, en supposant que les exposants de la lettre ordonnatrice aillent en décroissant, on voit que a^ et 2a6 contiennent la lettre ordonnatrice à une puissance plus élevée que tous les autres termes; les deux derniers termes, quels qu'ils soient, contiennent cette même lettre à une puissance plus faible que tous les autres termes.
Racine caiTée d'un polynôme.
226. Soit à chercher la racine carrée d'un polynôme supposé carré parfait. Ce polynôme a au moins trois termes, puisque le carré d'un monôme est un monôme et que le carré d'un binôme est un trinôme. DésignonS'le par P et représentons sa racine carrée par a-h6-+-c-f-ûf-f-.... On a alors
P = (a-h6-f-c-j-rf-i-.. .)'.
D'après la remarque faite (225), le polynôme étant supposé ordonné suivant les puissances décroissantes d'une certaine lettre, ainsi que sa racine carrée, ses deux premiers termes sont sans réduction, a' et nab.
En extrayant la racine carrée du premier terme du poly* nôme proposé, on a donc le premier terme de la racine.
Si l'on retranche a' de P, le reste R qu'on obtient est égal à
Son premier terme étant égal à lab^ il suffit, pour avoir le second terme de la racine, de diviser ce premier terme 2ab par le double 2a du premier terme écrit à la racine.
Ayant les deux premiers termes de la racine, on forme le carré du binôme correspondant a + &> et on le retranche du polynôme P. On en a déjà retranché a*; pour former la quantité 2ab -H b^ qu'on doit retrancher du reste R alors obtenu, il sulfît d'écrire à la suite du double 2a le second terme b et de multiplier par ce second terme l'ensemble 2a h- 6. Le nouveau reste R' est égal à
2ac 4- 2bc -H c* -♦-... .
ALGÈBKE ÉLÉMENTAIRE.
Le premier terme de ce reste est encore le produit du double du premier terme de la racine par le troisième terme de cette racine : il suffit donc de le diviser par aa pour avoir le troisième terme c. Il faut ensuite former le carré du trinôme déterminé par les trois premiers termes de la racine et le retrancher du polynôme P. On en a déjà retranché (a-4-é)»; il faut donc seulement retrancher du reste R' alors obtenu
ce qui revient à
(aa -!- ^6 H- 6-)c.
Pour obtenir l'expression à retrancher du reste R'» il faut donc former le double des deux premiers termes de la racine» écrire à la suite le troisième terme de cette racine et multiplier l'en* semble trouvé par ce troisième terme.
Il n'est pas besoin d'aller plus loin : la règle à suivre est évidente. Dès qu'on a trouvé le premier terme de la racine en extrayant la racine carrée du premier terme du polynôme proposé, on trouve tous les autres en divisant le premier terme de chacun des restes successifs par le double du premier terme de la racine. On obtient d'ailleurs les différents restes en retranchant successivement du polynôme donné le carré du premier, des deux premiers, des trois premiers... termes de la racine; ce qui revient, dès le second reste, à retrancher du reste précédent le produit de l'ensemble du double de la partie écrite à la racine suivi du dernier terme trouvé, parce dernier terme. On est averti qu*on est arrivé au dernier terme de la racine lorsqu*on obtient un reste nul. Réciproquement, la ra^ cine est exacte si l'on trouve un reste nul.
L*opération présente la disposition suivante. Soit a extraire la racine carrée du polynôme
25 /r j*— 20 «*a:*-f- 74 «* J?* — 4 8 ^-îp*-*- 57 fl*x*— a8 fl'x-f-4 «•
—ioa^j^-h 8/?V— 28fl'a:-+-4rt* — SflV+aSfl'o:— 4 a»
Ob C— Cours. I.
Snx*-
7^Ar-
"la
lOfli'-
loax^-
loaj^"
'ia^x'-h
-in 'in*
48a ALGÈBRE ÉLÉMENTAIUE.
L'extraction de la racine carrée des polynômes a une grande analogie avec l'extraction de la racine carrée des nombres. On écrit immédiatement les produits à retrancher au-dessous des restes successifs, en changeant les signes des termes de ces produits à mesure qu'on les calcule et en les disposant de manière à faciliter la réduction des termes semblables. On n'écrit pas le premier terme de^chaque produit, qui détruii forcément le premier terme du reste correspondant (*).
227. L'extraction est impossible en termes entiers et rationnels lorsque, le polynôme étant ordonné par rapport à une lettre quelconque, le premier et le dernier terme ne sont pas des carrés parfaits. Elle est encore impossible lorsque, le premier et le dernier terme étant des carrés parfaits, le second et ravant-dernier terme ne sont pas respectivement divisibles par le double de la racine carrée du premier et du dernier terme. Enfin l'extraction est encore impossible lorsqu'on est conduit à un reste dont le premier terme n'est plus divisible par le double du premier terme posé à la racine (').
228. Lorsque le premier terme du polynôme proposé est un carré parfait, on peut toujours commencer l'extraction de la racine carrée et la continuer jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste R dont le premier terme ne soit plus divisible par le double du premier terme de la racine. Si l'on appelle P le polynôme proposé et A le polynôme écrit à la racine, on a, d'après ce qui précède,
R = P-A% d'où P = A»-4-R.
On peut donc remplacer le polynôme P, dans le cas considéré, par un polynôme carré parfait augmenté d'un autre polynôme de degré inférieur au premier par rapport à la lettre ordonnatrice.
(') Si la lettre ordonnatrice entrait dana- plusieurs termes du polynôme proposé avec un môme exposant, la règle à suivre serait identique; seulement l'extraction principale serait compliquée d'extractions partielles.
(*) On doit remarquer que, lorsqu'on accepte les exposants négatirs, les extractions de racines carrées inexactes peuvent se continuer indéfiniment : Texpression d'une pareille racine est alors composée d'un nombre illimité da termes (90).
ALGEBRE ÉLÉMEKTÂI&B«
Soit le polynôme
— 7a*j: + aa*
Sà'x 5a^x
Après avoir trouvé à la racine le binôme 3ax* — Sa^x, on est obligé de s'arrêter au reste — 7 a* a; -t- 2a«, dans lequel le premier terme est de degré inférieur par rapport à a? au premier terme écrit à la racine. On peut alors poser
ga'x* — 3oa*x*-h^5a*x^— 'ja^x-hun* = {3ax^ — 5a*xy^ 7^*0; -4- 2a«.
229. Comme exercice, cherchons la condition pour qu'un trinôme du second degré de la forme ax* -i-bx-hc soit un carré parfait. Nous effectuerons l'extraction de la racine carrée de ce trinôme jusqu'à ce que nous parvenions à un reste indépendant de x. En égalant ce reste à zéro, nous aurons la relation à laquelle les coeflBcients «, b, c doivent satisfaire pour que le trinôme soit carré parfait.
ax*
|/fl.
Le reste indépendant de x étant — - + c, il faut qu'on ait hcr=o,
ce qui revient évidemment à A'— 4flc = o. Quel que soit x, le trinôme sera donc carré parfait si le carré du coefficient de x est égal au quadruple produit du coefficient de a^ par le terme qui ne contient pas x.
(hi aurait pu, pour éviter dans le calcul les quantités irrationnelles, multiplier le trinôme par a. Il aurait fallu ensuite diviser la racine carrée
obtenue par ^.
La racine carrée ya,x-i - est d'ailleurs rationnelle par rapport à x.
484 ÀLGÊBUE ÉLÉMEUrTAlIlE.
