i>o, d'où r
La fonction présente donc seulement un minimum qui est — ^j ce qu'on
aurait pu dire immédiatement (316) d'après la condition B > o. I>a valeur de Xj qui répond à ce minimum, est
•«» — — T — "T — Am
i—X I ■+■ 1 4 Cela posé, pour ^r = — oo , on a, d'après l'expression (i),
Si l'on fait croître x, y reste positif et va en croissant jusqu'à h- co pour jr = -— I, d'après l'expression (a); c'est ce qui résulte nécessairement des indications précédentes relatives au seul minimum de ^.
Comme y ne change pas de signe après qu'on a dépassé la valeur j: = — I, puisque le dénominateur de l'expression (a) est constamment positif et que les deux facteurs du numérateur restent tous deux négatifs, cette valeur x =— i répond à une seule valeur infinie positive qui remplace en réalité le maximum trouvé pour la fonction dans le cas précédent. Rappelons-nous, en effet, que, si  devient nul, l'un» des racines du trinôme en y placé sous le radical de la valeur de x et égalé à zéro devient infinie (241 ).
Dans ce cas, il n'y a pas, à proprement parler, discontinuité de la fonction.
X augmentant à partir de j: = — i , / diminue en marchant vers son minimum et en passant par la valeur 5 pour x = o. L'expression (a) montre que y s'annule pour x= i, devient ensuite négatif, puisque les deux facteurs du numérateur prennent des signes contraires, «tteint son
minimum — ^ pour j: = a, croit au delà et repasse par la valeur zéro
pour X = 5. X continuant de croître, il en est de même de j-, qui redevient positif et augmente jusqu'à la valeur i qu'il reprend de nouveau pour X = 4- 00 .
Le tableau suivant résume cette discussion :
De g. — Cours, I. Sg
6io
ALGÈBRE ÉLÉMEISTAIRE»
— oo
croît
croît
croit
décroît
croît
décroît
croît
décroît
— ^ [Minimum]
croît
croît
croît
croît
Pour construire la courbe représentative des variations de la fonction (y^. 38), on marque l'asymptote HH' parallèle à l'axe xx', qui répond à
OB = I, et l'asymptote KK' parallèle à Taxe xx\ Q^î répond à OA = — '• On indique le point /w, dont Tabscisse OC est égale à a et dont l'ordonnée
— Cm représente le minimum — ^ de la fonction. On indique aussi sur
ÀLGEBllE ÉLÉMENTAIBE. 6ll
Taxe yy* le point D, dont l'ordonnée est 5j et sur l'axe x.r' les points I el J, dont les abscisses sont i et 5.
On trace alors une première branche de courbe H'K, rencontrant Tasymptote NH' à Tinfini vers la gauche et l'asymptote KK' à Tiniini au-dessus de l'axe xx'\ puis, une seconde branche K/7;H, rencontrant l'asymptote KK' au même point que la première branche, coupant l'axe ^ au point D, traversant Taxe ^r^ au point I, descendant jusqu'au point///, puis remontant jusqu'au point J, où elle traverse de nouveau l'axe xx\ et s'étendant ensuite indéfiniment vers la droite, de manière à s'élever vers l'asymptote HH', qu'elle ne rencontre qu'à l'inOni.
De Den I, la seconde branche K///H coupe l'asymptole Hll' en un point dont l'ordonnée est i et dont l'abscisse, d'après l'expression (i), satisfait alors à la condition
d'où
ï 8x=r 4 ou j:= -•
En prenant OG = -> on détermine donc sur l'asymptote HH' son point
de rencontre F avec la courbe.
Les applications qu'on vient de traiter suffisent pour faire pressentir tous les avantages qu'on peut retirer d'une union intime établie entre la Géométrie et l'Algèbre, et pour préparer aux considérations sur lesquelles la Géométrie analytique est fondée {voir t. IV).
