ii.i4*i
est une progression croissante dont la raison est 3.
est une progression décroissante dont la raison est — 3.
Relation fondamentale.
323. Dans toute progression par différence limitée, un terme de rang quelconque est égal au premier augmenté d'autant
6l4 ALGÈBRE ÉLÉMEUTÀIIIE.
de fois la raison qu*il jr a de termes avant celui qu'on considère, Soil la progression
Désignons par r la raison de celte progression, et supposons qu'on se «oit arrêté au n'^^ terme. On a, par définition,
6 := a -+- r, c=zb -4-r=a4-2r, d=c-^r = a-\-3r, e = d-^r = a-h^ry
La loi de formation est évidente : le multiplicateur de la raison est inférieur d'une unité au rang du terme, l élant le n'** terme, on a la formule générale
On en déduit
Comme on peut commencer la progression où l'on veut, celle dernière relation prouve qu'un terme de rang quelconque est égal au dernier diminué d'autant de fois la raison qu'il jr a de termes après celui qu'on considère.
324-. La somme de deux termes également éloignés des extrêmes est égale à la somme des extrêmes.
Considérons les deux termes T et T' : T a /? termes avant lui. T' en a p après lui. On a, d'après ce qui précède,
c'est-à-dire, en ajoutant ces deux égalités membre à membre,
325. Dans toute progression par différence croissante, les termes vont en augmentant, en même temps que leur rang, de manière à pouvoir atteindre et surpasser toute quantité donnée.
ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 6l5
Cherchons, par exemple, à quel terme il faut s'arrêter dans la progression pour surpasser un nombre donné A, aussi grand qu'on voudra.
a étant le premier terme de la progression, son n'*"* terme
a pour valeur (323)
Il faut donc réspudre, par rapport au rang n, FinégaUté
On en déduit
Ainsi, le terme dont le rang est exprimé par le nombre entier
iH — I est
supérieur à A, quel que soit A.
Insertion de moyens.
326, Insérer n moyens par différence entre deux nombres donnés, c'est former une progression dont les deux termes extrêmes soient les nombres donnés, et qui contienne en tout « -h 2 termes.
Désignons par a et / les termes extrêmes de la progression, c'est-à-dire les nombres donnés, par r la raison inconnue de la progression. On a (323)
1= a -h {n -hi] r,
La raison est donc égale à la différence des nombres donnés, divisée par le nombre des moyens à insérer plus i.
Connaissant la raison et le premier terme, on forme immédiatement la progression demandée.
327. Etant donnée une progression par différence, si Ion insère un même nombre de moyens entre ses termes consé cuti/s, on forme une nouvelle progression par différence qui a pour raison le quotient de la raison de la première progrès-
6l6 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
sion par le nombre des moyens insérés entre chacun de ses termes et le suivant, plus i.
Soit la progression
ra,b,c,d.e, , .h.k^L
Désignons par r sa raison ou la différence qui existe entre un terme quelconque et le précédent, par n le nombre des moyens insérés entre a et 6, 6 et c, c et (/,..., k et /. Les raisons des différentes progressions formées ont pour expressions (326)
/i-f-i /i-f-i n-f-i n-hi
Elles sont donc toutes égales au quotient ^ De plus, la
première progression finit où commence la deuxième , la deuxième finit où commence la troisième, etc. Toutes ces progressions forment donc une progression non interrompue
ayant pour raison
328. Pour insérer entre deux nombres donnés un nombre de moyens par différence égal à pp' — \, on peut insérer d'abord p — I moyens entre les deux nombres donnés, puis p' — i moyens entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant.
En effet, si Ton insère p — i moyens entre les nombres^ et /, la raison de la progression obtenue est (326)
Si Ton insère maintenant/?' — i moyens entre les termes consécutifs de cette progression, la* raison de la nouvelle progression formée a pour valeur (327)
^r ou - , •
p pp
Or cette raison est précisément celle que Ton obtient en insérant directement pp — i moyens entre les nombres donnés. On voit en même temps que le résultat ne change pas, quand on intervertit Tordre des insertions.
On généralise faciiemeni ce théorème remarquable en remplaçant/^/i' — I pBT pp'p".,, — I.
En pariiculier, pour insérer entre deux nombres donnés un nombre de moyens par différence égal à 2" — i, on peut insérer un moyen entre les deux nombres donnés, puis un moyen entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant^ et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait répété la même opération n fois.
Somme des termes d'une progression par différence
329. La somme des termes d'une progression par différence est égale au produit de la demi-somme des extrêmes par le nombre des termes.
Soit la progression
^a,b.c,d*e, . Ji.h.l.
En désignant par S la somme des n premiers termes jusqu'à l, on a
S=a-f-6-hc-f-rf-f-e-f-...+ A-f-Ar-t-/.
Si Ton renverse la progression, on a de même
Sz=l-hk-^h-h...'he-hd-{-c-^b-^a.
En ajoutant alors membre à membre ces deux égalités, il vient
-f- (A+c) -H (/rH-6) +(/ -hfl).
Les sommes partielles mises entre parenthèses dans le second membre de Tégalité résultante sont égales à la somme des extrêmes ou à la somme de deux termes également éloi- ^nés des extrêmes : toutes représentent donc la somme des extrêmes (324). La progression contenant n termes, le second membre de l'égalité considérée renferme /i sommes partielles. On peut, par conséquent, écrire
28 = (a -h/)» ou S= n.
On peut remplacer dans celte relation / par a + (/i — i) r; elle
6l8 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
devient alors
Remarquons que, dans toute progression par différence, on a à tenir compte des cinq quantités a, /, r, n, S, et qu'on n'a que deux relations entre ces cinq quantités, savoir
/=a-f- /i— I r et S=:^ — ;
pour pouvoir trouver deux d'entre elles, il faut donc connaître les trois autres.
330. On demande la somme des n premiers nombres entiers: c'est demander la somme des n premiers termes d'une progression par différence ayant i pour raison et pour premier terme. En appliquant la formule
[la -^ {n — i) r]n
on trouve
ce que donne immédiatement la formule
jj {a-^l)n
en remarquant que / est égal à n.
On demande la somme des n premiers nombres impairs : c'est demander la somme des n premiers termes d'une progression par différence ayant 2 pour raison et i pour premier terme. Si l'on applique la formule
on trouve
Ainsi, la somme des 100 premiers nombres impairs est égaleà
100' ou lOOOO.
ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 6l{)
Des progressions par quotient.
33i. On appelle progression géométrique ou par quotient une suite de termes tels, que le rapport de chaque terme au précédent soit une quantité constante et positive : cette quantité constante est la raison de la progression.
Quand la raison est plus grande que i, la progression est croissante, c'est-à-dire que ses termes vont en augmentant. Quand la raison est plus petite que i, la progression est rfécroissante, c'est-à-dire que ses termes vont en diminuant. Une progression décroissante n'est d'ailleurs qu'une progression croissante renversée :
est une progression croissante dont la raison est a ;
est une progression décroissante dont la raison est -•
D'après la déiinltion même, chaque terme d'une progression par quotient est moyen proportionnel [Aritlim., 397) entre les deux termes qui le comprennent.
Relation fondamentale.
332. Dans toute progression par quotient limitée, un terme de rang quelconque est égal au premier multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent celui qu'on considère.
Soit lu progression
T\a\b\c:d:e\. . . :fi:lr.L
Désignons par q la raison de cette progression, et supposons qu'on se soit arrêté au n'*"* terme. On a, par définition :
b=:aq, c = bq =: aq^y d=^ cq — aq\ e =:i dq =z aq*.
La loi est évidente : Vexposant de la raison est inférieurcTune unité au rang du terme, l élant le «'•"" terme, on a la formule générale
On en déduit
in— I
Comme on peu^ commencer la progression où Ton veut, cette dernière relation prouve qu'///i terme de rang quelconque est égal au dernier divisé par la raison élevée à une puissance mar^ quée par le nombre des termes qui suivent celui quon considère,
333. Le produit de deux termes également éloignés des extrêmes est égal au produit des extrêmes.
Soient les deux termes T et T':Ta p termes avant lui, ï' en a ;> après lui. On a, d'après ce qui précède,
T = aqP, T'=-^,
c'est-à-dire, en multipliant ces deux égalités membre a
membre,
TV = al.
334. Dans toute progression par quotient croissante, les termes vont en augmentant y en même temps que leur rang, de manière à pouvoir atteindre et surpasser toute quantité donnve.
En effet, soient trois termes consécutifs /i, /r, / de la progression. On a (332)
k = hq, l = kqy d'où, en retranchant.
Comme g est > i, on a /— k^k— h. Par suite, la différence qui existe entre deux termes consécutifs augmente à mesure qu'on avance dans la progression. Or on a vu (325] que, dans une progression arithmétique croissante où cette différence reste constante, les termes augmentent îndéGnîment en même temps que leur rang. La même propriété
ALGÈBRE ÉLÉMENTÀIHE. 62 1
subsiste donc a fortiori û^lus une progression par quotient croissante.
335. Dans toute progression par quotient décroissante ^ les termes vont en diminuant, à mesure que leur rang augmente, de manière à devenir plus petits que toute quantité positive donnée.
Soit la progression par quotient décroissante
ria:b:c:d: — On a (331)
b=:aq, cr=bq, d=:cq,. . .;
d'où l'on déduit
I II I II I II 0 a q c o q d c q
g étant < i, - est > i. La suite
forme donc une progression par quotient croissante dont les termes consécutifs peuvent atteindre et surpasser toute quantité donnée (334); ce qui exige évidemment que les dénominateurs a, b, c, d,. . ,, c'esi-à-dire les termes de la progression donnée, diminuent indéfiniment en ayant zéro pour limite.
