Si Ton a 9 > i» la suite

Tiq'^iq^iq^iq^'.q*:-..

représente une progression par quotient croissante. Par conséquent (334'), les puissances successives d'une quantité plus grande que i vont constamment en augmentant et croissent au delà de toute limite.

Si Ton a g< 1, la même suite représente une progression par quotient décroissante. Par conséquent (335), les puissances successives d'une quantité plus petite que i vont con^stamment en diminuant et ont zéro pour limite.

6jt2, ALGÈBRE ÉLÉMESTAIRE.

Insertion de moyeu.

337. Insérer n moyens par quotient entre deux nombres donnés, c'est former une progression dont les deux termes é'xtrémes soient les nombres donnés, et qui contienne en tout /i -f- 2 termes.

Désignons par aei l les termes extrêmes de la progression, c'est-à-dire les nombres donnés, par q la raison inconnue de la progression. On a (332)

i=zaq'^*, d'où

La raison est donc égale à une racine du quotient des nombres donnés, marquée par le nombre des moyens à insérer plus I .

Connaissant la raison et le premier terme, on forme immédiatement la progression demandée.

338. Étant donnée une progression par quotient, si l'on insère un même nombre de moyens entre ses termes consécutifs, on forme une nouvelle progression par quotient qui a pour raison une racine de la raison de la première progression, marquée par le nombre des moyens insérés entre chacun de ses termes et le suivant, plus i .

Soit la progression

Désignons par q sa raison ou le quotient d'un terme quelconque par le précédent, par /île nombre des moyens insérés entre a ei b, b et c, c et d,. . ., k ei L Les raisons des différentes progressions formées ont pour expressions (337j

Va' Vï' Vc' •••' Vf

Elles sont donc toutes égales à "Vî* ^^^ plus, la première progression finit où commence la deuxième, la deuxième finit où commence la troisième, elc. Toutes ces progressions

ALGÈBRB ÉLÉMENTAIRE. 6p3

formenl donc une progression non interrompue ayant pour

raison ^q.

339. Pour insérer entre deux nombres donnés un nombre de moyens par quotient égal à pp' — i, on peut insérer d'a^ bord p — I moyens entre les deux nombres donnés^ puis p' — i moyens entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant.

Supposons, en effet, qu'on insère p — i moyens entre les deux nombres donnés a et /. La raison de la progression obtenue est (337)

Si Ton insère maintenant p' — i moyens entre les termes consécutifs de celte progression, la raison de la nouvelle progression formée a pour valeur (338)

Il pp'/l

a OM76) y/-.

Or celte raison est précisément celle qu'on obtient en insérant directement pp' — i moyens entre les nombres donnés.

On voit en même temps que le résultat ne change pas, quand on intervertit Tordre des insertions.

On généralise facilement ce théorème remarquable en remplaçant pp' — i par /?/?'/?"... — 1.

En particulier, pour insérer entre deux nombres donnés un nombre de moyens par quotient égal à a" — i, on peut insérer un moyen entre les deux nombres donnés, puis un moyen entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait répété n fois la même opération, qui n'exige que des extractions de racines carrées.

Produit des termes d*ane progression par quotient.

3^0. Le produit des termes d'une progression par quotient Limitée est égal à la racine carrée du produit des extrêmes^ élevé à une puissance marquée par le nombre des termes.

6^4 ALGÈBRE ÉLÉMEMTAIEE.

Soit la progression

H a : 6 : c : rf : « : . . . \h\k\L

En désignant par P le produit des n premiers termes jiis-

qu*à /, on a

P = abcde . . . likL

Si l'on renverse la progression, on a de mémo

P z= Ikli . . . edcba.

En multipliant alors membre à membre ces deux égalités, on a

?'= {al){bh'){ch) . , , [hc)[kb){la).

Les produits partiels mis entre parenthèses dans le second membre de Tcgalité résultante sont égaux au produit des extrêmes ou au produit de deux termes également éloignés des extrêmes; tous représentent donc le produit des extrêmes (333). La progression contenant n termes, le second membre de l'égalité considérée renferme n produits partiels. On peut, par conséquent, écrire

P'—{al)" ou P = v^(a/)«.

Somme des termes d'ane progression par quotient.

3^1. La somme des termes d'une progression par quotient e.st égale à la différence qui existe entre le produit du dernier terme par la raison et le premier terme ^ divisée par l* excès de la raison sur l'unité.

Soit la progression

En désignant par S la somme des n premiers termes jusqu'à /, on a

S-:a-hb'hc-hd-he-h..,-¥'A-hk'^L

Multiplions par la raison q les deux membres de cette égalité et remarquons que aq = é, bq 7:= c, cq = d, . , ,,kq =: /. Il

vient alors

Sq = b'hC'hd'^ e H-/H- . . . -h k -{- l-hlq.

Si Ton suppose la progression croissante, on retranche membre à membre la première égalité de la seconde, et l'on a évidemment

Sq — S== Iq — a ou S[q ^i) =lq — a,

c'est-à-dire

Si la progression est décroissante, on retranche la seconde «égalité de la première, et l'on trouve

Mais on peut employer indifféremment la première ou la seconde formule, que la progression soit croissante ou décroissante> parce qu'on ne change pas un quotient en changeant à ia fois le signe du dividende et celui du diviseur (kO). Reprenons la formule

q^i On peut (332) y remplacer / par aq'^K 11 vient alors

q-i ' Dans le cas de la progression décroissante, on a de même

Il est facile de trouver directement cette formule, en remarquant que la progression peut s'écrire

}^a:aq: aq^ : aq^ : aç* : ... : aç"-* : aq'*-\

De C. — Cours. L 4^

(>26 ALGÈBRE éLf.MEHTAIBB.

On a alors

d'où

Mais la quantité renfermée entre parenthèses représente le quotient de i — 9" par 1 — 9 (^^)f P^r suite»

Limite de la somme des termes d'une progression par qaotient

indéfiniment décroissante.

3^2. La somme des termes d'une progression décroissante indéfiniment prolongée a pour limite le quotient du premier terme par l'excès de l'unité sur la raison.

Reprenons la formule

^ a — aq*

On peut la mettre sous la forme

est une quantité fixe; q étant plus petit que i, q* de-

vient de plus en plus petit à mesure que n augmente, et a

pour limite zéro (336); par conséquent, le produit ç'

devient lui-même de plus en plus petit et a aussi zéro pour limite. La somme des termes de la progression, à mesure qu'on en considère un plus grand nombre, s'approche donc

constamment de la quantité fixe 9 qui représente la limite de la somme des termes de la progression, lorsqu'on suppose cette progression indéfiniment prolongée.

On peut vérifier a posteriori cette limite 5 en effectuant la division de a par i — g. On retrouve pour quotient

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 6?. 7

illimité la progression

Ha:aq : aq^ : aq^ :aq*:.. . : aq"'^: aq"-' : . • . .

343. On demande la somme des termes de la progression indéfiniment décroissante

On demande la valeur d'une fraction décimale périodique

simple

Cette fraction périodique peut s'écrire

1000 ' lOOO^' 1000*' lOOO**

Elle représente donc la somme des termes d'une progression

décroissante indéfiniment prolongée, qui a pour premier

terme et pour raison. En appelant S la valeur cherchée,

lOOO "^ '^'^

on a

Q lOOO

lOOO

1000 lOOO

résultat qui concorde avec celui trouvé en Arithmétique.

344. On peut remarquer que, dans toute progression par quotient, on a à tenir compte des cinq quantités a, l, q, n, S, et qu'il n'existe que deux relations générales entre ces cinq quantités, savoir

/ = ag-t et 8 = ^^=^;

par conséquent, pour pouvoir trouver deux d'entre elles, il

faut connaître les trois autres.

Ô'-iS ALGÈBRE ÉLÉMEK TAIRE.

345. On eniend j^qlt série une suite indéfinie de termes qui se déduisent les uns des autres d'après une loi déterminée. La série est convergente lorsque la somme de ses termes, à mr>ure qu'on en considère davantage, lend vers une limite fixe; elle est divergente dans le cas contraire. Une progression par quotient indéfiniment décroissante est une série convergente. Une progression par quotient indéfiniment croissante est au contraire divergente; car, ses termes pouvant croître au delà de toute quantité donnée, il en est de même de leur somme.

Nous étudierons les séries dans la Section consacrée à V Algèbre supérieure {voir i. III).

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

G'xg