PROGRESSIONS

par différence.

par quotient.

Relation jondamentale, l = a -^ [fi — \]r. I / = a(f^^.

Termes également éloignes des extrêmes.

T-rT'=l7-*-/.

TT' = al.

Insertion de n moyens.

Somme des n premiers termes.

Produit des n premiers termes.

F = \/(al)\

Ainsi, à l'addition, à la soustraction, à la multiplication et à la division, se trouvent substituées la multiplication, la di-

63o ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

vision, réiévation aux puissances el l'extraction des racines. Ce rapprochement a conduit à l'idée des logarithmes. C'est à l'Écossais Néper (•) qu'on doit l'invention el la première application à la Trigonométrie de cet admirable instrument de calcul.

3W. Soient H ... Ç-' : g-' : 7— : I : 9 : ^* : 9» : . . : ^" : . . : ç" : . . .

T».. — 3r. — 2r. — r.o. r. ar. 3r mr nr . . ,

deux progressions croissantes» l'une par quotient, l'autre par différence. Supposons que la première contienne le terme un, la seconde le terme zéro^ et admettons que ces deux termes se correspondent dans les deux progressions.

On appelle logarithmes des nombres inscrits dans la progrès^ sion par quotient les nombres qui leur correspondent dans la progression par différence, et les deux progressions considérées constituent un système de logarithmes.

Mais les termes d'une progression présentent toujours entre eux des lacunes plus ou moins étendues. Si l'on veut que tous les nombres aient des logarithmes, il faut donc généraliser la définition précédente.

348. Si Ton insère un même nombre quelconque de moyens pnr quotient entre chaque terme de la progression par quotient et le suivant, et si, en même temps, on insère le même nombre de moyens par différence entre chaque terme de la progression par différence et le suivant, on obtient deux nouvelles progressions (327, 338) satisfaisant à la condition imposée, c'est-à-dire dans lesquelles les termes un et zéro continuent de se correspondre.

On appelle alors logarithmes des nouveaux nombres introduits dans la progression par quotient les nouveaux nombres qui leur correspondent dans la progression par différence.

Pour légitimer cette extension, il faut établir que, si l'on peut introduire un nombre dans la progression par quotient en insérant entre chaque terme et le suivant un certain nombre de moyens, et si l'on peut aussi l'introduire en insérant

( ' ) L'ouvrage de Néper est intitulé : Mirifici logarithmorum canonis deteriptio^ ejusque usus in utraque Trigonometria, , . . (Edimbourg, l6i4).

un autre nombre de moyens» on trouve pour ce nombre, dans les deux cas, le même logarithme.

Supposons, en effet, que le nombre N ayant été introduit dans la progression par quotient par l'insertion de p — i moyens, on ait trouvé n pour son logarithme ; et que, ce même nombre ayant été introduit par l'insertion de p' — i moyens, on ait trouvé n' pour son logarithme. 11 faut prouver que n = n\

Or, si, après avoir inséré /? — i moyens entre chaque terme de chaque progression et le suivant, on insère p' — i moyens entre les divers termes des nouvelles progressions obtenues, on est dans le même cas que si l'on avait inséré tout d'abord pp' — I moyens entre les divers termes des progressions primitives (328, 339). Donc, par l'insertion de pp' — i moyens, on trouve n pour logarithme de N. De même, si, après avoir inséré p' — i moyens entre chaque terme de chaque progression et le suivant, on insère p— - 1 moyens entre les divers termes des nouvelles progressions obtenues, on est encore dans le même cas que si Ton avait inséré tout d'abord /yp' — i moyens entre les divers termes des progressions primitives. Donc, par l'insertion de pp* — i moyens, on trouve nf pour logarithme deN. On en conclut évidemment n = n'.

3{^9. Il reste encore à définir le logarithme d'un nombre N, qui ne peut être introduit dans la progression par quotient par l'insertion d'aucun nombre de moyens.

Pour cela, nous démontrerons d'abord qu'on peut insérer dans les deux progressions (SkU) un nombre de moyens assez grand pour qu'il soit permis de regarder les termes de ces progressions comme croissant par degrés aussi rapprochés qu'on voudra.

La démonstration est immédiate pour la progression par différence. En effet, si l'on insère p — i moyens entre ses termes

consécutifs, .la raison de la nouvelle progression est r' = -,

et l'on peut prendre p assez grand pour que cette raison, qui représente la différence de deux nouveaux termes consécutifs, soit plus petite que toute quantité donnée.

Quant à la progressioh par quotient, si l'on insère p — i moyens entre ses termes consécutifs, la raison de la nouvelle

progression est q' = ^. Soient alors ^r'" et g'*^' deux nou-

632 algèbue élémentaire.

veaux termes consécutifs. Leur différence ç'"*^* — ç'" esi

égale à

Pour qu'elle soit moindre qu'une quantité donnée <Xy il suffit qu'on ait

ou, en désignant par A un nombre plus grand que tous les termes considérés dans la progression par quotient,

oc pi— ^ CL

Celte condition revient à

g'<n-^ ou v^?<i-4-^»

ou encore à

Or on peut toujours donner à p (336) une valeur assez grande

pour que ( ^ + ^ ) surpasse tout nombre donné.

Cela posé, après Tinsertion d'un nombre sufflsant de moyens, tout nombre positif N fait partie de la progression par quotient ou est compris entre deux termes consécutifs de celte progression. Ces deux termes, pour p assez grand, diffèrent entre eux aussi peu qu'on veut; et, si l'on fait croître p indéfiniment, ils ont le nombre N pour limite commune* Les termes correspondants de la progression par différence tendent en même temps vers une limite commune qui est, par définition, le logarithme de N.

350. On peut représenter de la manière suivante les deux progressions croissantes qui, après l'insertion d'un nombre suffisant de moyens, constituent le système de logarithmes

p — considéré, a = V 9 est la raison de la progression par quotient,

/" (3 = - est la raison de la progression par différence.

'^ ar^ : ... : «-• : or* : or* : i : « : a* : a» : ... : or : . . :«■:

mP .•.. — 3p . — 2^ • — p . G . (3.2^. 3p . . . /np . .. np...»

ALGÊBAE ÉLÉMENTAIRE. 633

On voit que l'exposant d'un terme de la progression par quotient est le coefficient du terme correspondant de la progression par différence.

Les termes conséculifs de la progression par quotient peuvent croître depuis zérojusqu*à Vinjini positif. En effet, puisqu'on suppose a> I, la limite de «■""= — (85) est zéro pour

m = 00 , et celle de a" est l'infini positif.

Les termes consécutifs de la progression par différence peuvent croître depuis Vinfini négatif jusqu'à l'infini positif.

Il en résulte que, dans tout système de logarithmes formé par deux progressions continues croissantes :

Tous les nombres positifs ont des logarithmes, les nombres négatifs n'en ont pas»

Les nombres plus petits que un ont des logarithmes négatifs, les nombres plus grands que un ont des logarithmes positifs.

Le logarithme de un est toujours zéro.

Lorsqu'un nombre crotty il en est de même de son logarithme.

Le logarithme de zéro est l'infini négatif le logarithme de V infini positif est l'infini positif

Si la raison a de la progression par quotient est < i, celte progression devient décroissante, c'est-à-dire que l'échelle des grandeurs est renversée de part et d'autre du terme un pour la progression par quotient, tandis que cette échelle n'est pas modifiée pour la progression par différence.

Dans ce cas, et en conservant les mémos définitions, ce sont les nombres plus grands que un qui ont des logarithmes négatifsy et les nombres plus petits que un qui ont des logarithmes positifs. Lorsqu'un nombre décrott, son logarithme crott. Le logarithme de zéro est l'infini positif et le logarithme de l'infini positif k^^ii l'infini négatif

Mais, au point de vue des applications, ce sont les premières Indications qu'on doit retenir; car les systèmes de logarithmes usuels répondent toujours à des progressions par quotient croissantes.

On indique, en général, le logarithme d'un nombre en plaçant les initiales log à gauche de ce nombre. Ainsi on représente le logarithme de N par la notation logN.

Propriétés fondamentales des logarithmes.

351. I. Le logarithme d'un produit de plusieurs facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

Désignons d*abord par À et par 6 deux nombres quelconques faisant partie de la progression par quotient (350)» et supposons qu'on ait

1! en résuite

AB = a"+'* ;

mais, par définition,

logA = m(3, logB=/i(3,

logAB = (/n^-/^)(3=--mj3-f-/l(3; pa^ suite,

logAB = IogA + logB (').

Considérons maintenant le cas où les nombres donnés A et B ne font pas partie de la progression par quotient; admettons que A tombe entre les deux termes consécutifs oT et o^S et B entre les deux termes consécutifs a" et a"^*. On a alors

a"<A<a"^' et a«<B<a«+'.

On en déduit

a"+"<AB<a«-^''-^»,

et il en résulte (350)

( /iiH- /i) p < log AB < (m -h n -+- 2) p;

mais on a aussi (350)

mP<logA<(/n-4-i)(3 et /ip< logB <(«-+- i)P,

d'où

[m -\- «)(3<logA + logB<(m -h n -f- 2)(3.

Les deux quantités logAB d'une part, et logA -f- logB d'autre pai t, sont donc comprises entre les mêmes limites. Ces limites

(') Cette démonstration s'applique CTidemment, d'après les règles du calcul des exposants négatifs, au cas où les deux nombres considérés sont <ii ou bien au cas où un seul d'entre eui remplit cette condition.

diffèrent de 2(3 = — (34.9), quantité aussi petite qu'on veut

pourp assez grand. On a donc nécessairement

logAB = logA -f- logB,

quels que soient les nombres A et B.

Le théorème étant établi pour le cas de deux facteurs, on rétend facilement au cas d'un nombre quelconque de facteurs.

Soit le produit ABCD. On peut écrire successivement^ d'après ce qui précède,

log A (BCD) = logA -f- logBCD, logB(CD) =logB-f-logCD, logCD =logC-+-logD.

En ajoutant ces égalités membre à membre et en supprimant les parties communes aux deux membres de l'égalité résultante, il vient

log ABCD = logA -h logB -{- logC + logD.

352. II. Le logarithme du quotient de deux nombres est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du di^ viseur.

Soient A et B les deux nombres donnés. On a identiquement

d'où (351)

et, par suite.

A = |xB.

logA= log jg-+- logB

log jg = logA — logB.

353. III. Le logarithme d*une puissance d^un nombre est égal au logarithme de ce nombre, multiplié par V exposant de la puissance.

Soit, par exemple, A''. Cette puissance étant le produit de a facteurs égaux à A, son logarithme est la somme de p nombres

636 ALGÈBRE ÉLÉHEKTAIEE.

égaux à logA (351); on a donc

log A^ = p logA.

35^. IV. Le logarithme d'une racine d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre, divisé par l'indice de la racine.

Soîty par exemple, {/a. On a identiquement

d'où, en prenant les k)garithmes des deux membres (353),

plogv'A = logA et, par suite,

355* Comme on Ta indiqué en Arithmétique (77), il y a six opérations fondamentales sur les nombres : trois directes, trois indirectes.

Dans l'ordre de leur difficulté, les trois opérations directes sont : l'addition, la multiplication, Télévation aux puissances; les trois opérations indirectes sont : la soustraction, la division, l'extraction des racines. L'addition et la soustraction sont des opérations très-simples; la multiplication et la division sont plus compliquées ; l'élévation aux puissances et Textraction des racines sont extrêmement longues et pénibles, pour peu que l'exposant ou l'indice s'élève.

On conçoit qu'à l'aide des logarithmes on peut ramener la multiplication et la division à l'addition et à la soustraction; l'élévation aux puissances et l'extraction des racines à une multiplication et à une division généralement très-simples.

Il suffit, pour cela, de construire une Table qui, en face des nombres, donne leurs logarithmes. On veut, par exemple, extraire la racine d'un nombre; on cherche son logarithme dans la Table, on le divise par l'indice du radical, et l'on obtient ainsi le logarithme de la racine. En face de ce logarithme, la Table indique la racine cherchée. On comprend parla toute Tutilité des logarithmes.

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 687

Des différents systèmes de logarithmes,

356. Puisqu'on peut choisir à volonté les deux progressions par quotient et par différence qui constituent un système de logarithmes, à la seule condition de toujours faire correspondre dans les deux progressions le terme w/iau terme zéroy on voit qu'il y a une infinité de systèmes de logarithmes.

Pour définir un système de logarithmes, on indique ordinairement le nombre quiy dans ce système, a pour logarithme l'unité. Ce nombre est la base du système, et Ton indique le logarithme d'un nombre N, pris dans le système dont la base est a, par la notation log^N.

357. TuÉORfiMB FONDAMENTAL, — Le rapport des logarithmes de deux nombres quelconques reste constant, lorsqu'on passe d'un système à un autre.

Soient les deux nombres N et N', et supposons que le rapport de leurs logarithmes dans le système dont la base est a

soit commensurable et égal à —•

De l'égalité

on déduit ou (348)

loff«N m

log«N'"~" »*

nlog«N = mlogaN', log.N" = log«N'",

Si Ton prend maintenant les logarithmes des deux membres dans le système dont la base est A, on a

nlogAN = iiilogAN',

d'où

logAN m log^N

î^glN'"n'"log.N''

On étend facilement la démonstration du théorème au cas où le rapport — est incommensurable, en prouvant que les rapports des logarithmes des nombres N et N', dans les deux

638 ALGÈBRE ÉLÉMENTÀIIIE.

systèmes, sont compris entre les mêmes limites commensurâbles, d'ailleurs aussi resserrées qu'on veut. De régalité précédente on tire alors

IoraN log^N' ^^^^^ 1 — Âf = T"^ xt7 = const.

Par suite, on passe du logarithme d'un nombre quelconque, pris dans le système dont la base est a, au logarithme de ce nombre pris dans le système dont la base est A, en multipliant le premier logarithme par un facteur constant.

Ce Tacteur constant, que nous désignerons par M, est le module relatif dix second système comparé au premier.

Si Ton considère les bases A et a elles-mêmes à la place des nombres N et N', on a

j^ lIogAA ,logAf

lOgaA lOgaû

Mais, par déHnition,

logxA = log.a=i;

par suite,

Le module M est donc l'inverse du logarithme de la nouvelle base, pris dans l'ancien système, ou le logarithme de l'ancienne base, pris dans le nouveau système.

On voit que, si Ton connaît A, on peut déduire immédiatement le système A du système a. La base d'un système suffit donc pour le définir.

Des logarithmes vulgaires.

358. On nomme logarithmes de Briggs ou logarithmes vulgaires ceux du système dont la base est lo.

Les logarithmes vulgaires sont donc définis par les deux progressions

H .. . io-*:io-': io-':i:io:io*:io*:. . .

Ce sont ceux dont on fait usage dans les applications numé-

ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIHE. 63,9

riques et que nous considérerons spécialement. Ces logarithmes sont en complète harmonie avec notre système de numération, et il en résulte plusieurs simplifications très-importantes au point de vue du calcul.

359. Les logarithmes sont exprimés en décimales et se composent^ par conséquent, d'une partie entière et d'une partie décimale* La partie entière porte le nom de caractéristique.

Dans tout système, les puissances successives de la base (356) ont pour logarithmes les nombres entiers i, a, 3, i,..,. Dans le système vulgaire, les logarithmes des puissances de lo, qui reviennent constamment dans les calculs, se trouvent donc immédiatement connus.

De plus, on peut, à la seule inspection d'un nombre, indiquer la caractéristique de son logarithme.

£n effet, le logarithme d'un nombre qui est compris entre I et lo ou qui a un chiffre à sa partie entière, tombe entre o et I (358) '<, la caractéristique de ce logarithme est donc o.

Le logarithme d'un nombre qui est compris entre lo et loo, ou qui a deux chiffres à sa partie entière, tombe entre i et 2 ; la caractéristique de ce logarithme est donc i.

Le logarithme d'un nombre qui est compris entre 100 et 1000, ou qui a trois chiffres à sa partie entière, tombe entre 2 et 3; la caractéristique de ce logarithme est donc 2. . . .

Le logarithme d'un nombre qui est compris entre 10"-' et 10", ou qui a /i chiffres à sa partie entière, tombe entre n — i et n; la caractéristique de ce logarithme est donc n— i.

Ainsi, d'une manière générale, la caractéristique du logarithme d'un nombre plus grand que i renferme autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un dans la partie entière de ce nombre.

360. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise un nombre N par une puissance quelconque de lo, la caractéristique du logarithme de ce nombre augmente ou diminue de l'exposant de cette puissance de 10.

On a, en effet (351, 352) :

log(Nx 10/') = logN H- logio/' = logN H-p, log (—] =:logN-logio/' = logN-p.

64o ALGÈBRE éLÉMEUTAlRE.

II résulte de là que la partie décimale du logarithme d'un nombre reste la même, quelle que soit la place qu* on fasse occuper dans ce nombre à la virgule qui sépare sa partie en^ tière et sa partie décimale; la caractéristique seule varie.

On a, par exemple,

log 3564 = 3,5519377, log 356,4 =2,5519377, log 35,64 =1,5519377, log 3,364 =0,5519377, logo, 3564 =0,5519377 — I, log o,o3564 = 0,5519377 — 2,

3G1. Lorsqu'un logariihme est négatif, comme pour les deux derniers nombres qu'on vient de considérer, on conserve sa partie décimale positive, et Ton fait porter la soustraction sur sa caractéristique.

On indique que la caractéristique d'un logarithme est seule négative, en la surmontant du signe moins, et l'on écrit :

logo, 3564 = 1,5519377, logo,o3564 =2,5519377, logo,oo3564 = 3,55ig377,

On voit que les nombres plus petits que i, c'est-à-dire sans partie entière, ont des logarithmes à caractéristiques négatives et à parties décimales positives. La caractéristique contient nécessairement autant d'unités négatives qu'il y a de zéros avant le premier chiffre décimal significatif du nombre proposé, y compris le zéro placé avant la virgule.

Disposition des Tables de logarithmes.

3G2. Comme nous l'avons remarqué (355), pour faire usage de la théorie des logarithmes, il faut qu'on puisse déterminer, avec une approximation convenable, le logarithme qui correspond à un nombre donné, et réciproquement le nombre qui correspond à un logarithme donné. On y parvient à l'aide des Tables de logarithmes.

ALGÈBRE éLÉMKNTA.TRE. 64 1

Parmi les meilleures Tables, on peut citer celles de Schrôn (édition française). Elles font connaître les logarithmes des nombres entiers, depuis i jusqu'à 108000, avec 7 décimales au moins. Nous allons en indiquer la disposition et Tusage.

363, Ces Tables se composent de trois parties. La première, qui est à simple entrée, contient les nombre naturels depuis i Jusqu'à 1000, disposés suivant leur ordre en plusieurs colonnes qui ont pour litre, en haut et en bas, les lettres Num qui commencent le mot Numents : nombre. Chaque colonne de nombres est immédiatement suivie d'une colonne de logarithmes, indiquée par les lettres log, de manière que chaque logarithme est placé à droite et dans l'alignement du nombre auquel il appartient. On a supprimé partout la caractéristique de chaque logarithme, parce qu'on la connaît (339) à la simple inspection du nombre proposé.

Les Tables suivantes sont à double entrée; elles s'étendent -depuis 1000 jusqu'à 108000. La troisième colonne qu'on y re marque vers la gauche, et qui est intitulée Num, contient les nombres naturels depuis 1000 jusqu'à 10799. ^^ colonne suivante, marquée o, renferme les logarithmes qui appartiennent à ces nombres, de sorte que l'ensemble de ces deux colonnes forme comme la suite de la Table.

Si l'on observe la colonne marquée o, on voit, sur la gauche de cette colonne, certains nombres isolés, de trois chiffres chacun, qui vont toujours en augmentant d'une unité, et qui ne sont pas tout à fait également distants les uns des autres. Vers la droite de la même colonne, sont des nombres de quatre chiffres chacun qui se succèdent sans intervalle. On pourrait donc croire, au premier abord, que certains logarithmes n'ont que quatre chiffres significatifs, tandis que d'autres en ont sept; mais, en réalité, chaque nombre isolé est censé écrit au-dessous de lui-même, et vis-à-vis des nombres de quatre chiffres, autant de fois qu'il est nécessaire pour que chaque ligne soit remplie. Ainsi, lorsqu'on ne trouve en face d'un certain nombre que quatre chiffres dans la colonne marquée o, il faut écrire à gauche de ces quatre chiffres le nombre isolé de trois chiffres le plus proche en montant. Au delà de loooo, les nombres isolés vers la gauche ont quatre figures au lieu de trois.

Lorsque deux nombres sont décuples l'un de l'autre, la par-

De C. — Cours, I. 4 '

64 2 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE •

lîe décimale de leurs logarithmes est la même (360). Par conséquent, les deux premières colonnes que nous venons de considérer donnent aussi, de dix en dix, les logarithmes des nombres compris entre loooo et 108000. Pour trouver les logarithmes des nombres intermédiaires, il faut avoir recours aux colonnes marquées i, 2, 3, 4»« ■ .>9» Elles renferment les quatre dernières décimales des logarithmes des nombres terminés par les chiffres placés en tête de ces mêmes colonnes. Ainsi la colonne marquée o contient les quatre dernières décimales des logarithmes des nombres compris entre loooo et 108000, qui sont terminés par un zéro, en même temps que les nombres isolés de trois chiffres qui font connaître les trois premières décimales de ces logarithmes, et qui sont aussi censés placés à la gauche des quatre chiffres contenus dans les autres colonnes. La colonne marquée i renferme les quatre derniers chiffres des logarithmes de tous les nombres terminés par i; la colonne marquée 2, les quatre derniers chiffres des logarithmes de tous les nombres terminés par 2 ; et ainsi de suite jusqu'à 9.

Oii a, par cette disposition et sous la forme la plus réduite, une Table à double entrée» dans laquelle on consulte d'abord la colonne marquée Num. Lorsqu'on y a trouvé les quatre premières figures du nombre dont on cherche le logarithme, on suit horizontalement la ligne qui les contient, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à la colonne qui correspond au dernier chiffre du nombre donné; on a alors sous les yeux les quatre dernières décimales du logarithme demandé. Quant aux trois premières, elles sont exprimées par le nombre isolé, le plus proche en montant, qui se trouve dans la colonne marquée o.

La dernière colonne à droite, intitulée P.P. (parties proportionnelles), contient les différences obtenues en retranchant chaque logarithme du suivant, et \es parties de ces dif-

férences, c'est-à-dire leurs produits par — ? — 1 — 5--m jus- ' "^ *^ 10 10 10 "*

qu'à — • Cesproduits, placés au-dessous de chaque différence,

forment autant de petites Tables séparées qu'il y a de différences.

Les différences, ainsi que leurs parties, expriment des unités de même ordre que la dernière Ggure des logarithmes coi^ respondants.

AT.GÈBRE ÉLÉMENTAIBE. 643

Comme nous l'avons dit, les trois premiers chiffres décimaux d'un logarithme, se trouvant communs à un grand nombre de logarithmes consécutifs, ne sont écrits qu'une fois pour toutes en face du premier nombre de la colonne Num, auquel ils se rapportent. II peut arriver que le changement du troisième chiffre du logarithme ait lieu dans le courant d*une ligne. On ne place alors le nombre isolé qui a varié d'une unité qu'à la ligne suivante, en indiquant par des astérisques les logarithmes de la ligne considérée pour lesquels le changement a eu lieu.

Un trait marqué au-dessous du dernier chiffre décimal d'un logarithme indique que ce logarithme a été pris par excès à moins d'une demi-unité du dernier ordre conservé.

De looooo à 108000, les logarithmes sont donnés avec huit décimales.

Enfin, les deux premières colonnes de chaque page sont relatives à la solution d'une question de Trigonométrie dont nous n'avons pas à nous occuper ici.

Les Tables servent à résoudre les deux questions suivantes :

1° Étant donné un nombre, trouver son logarithme;

s** Étant donné un logarithme, trouver le nombre correspondant.

Usage des Tables.

364. Première question. — Un nombre quelconque étant donné, trouver son logarithme.

Premier cas. — Si le nombre proposé fait partie des Tables, la recherche de son logarithme ne peut présenter aucune difficulté d'après les explications qui précèdent. «

Soit, par exemple, le nombre €789^ En face de ce nombre, dans la colonne marquée o, on ne trouve que 5^55; mais, en suivant la marge, le premier nombre qu'on rencontre en montant est 828. La partie décimale du logarithme est donc 8286955 et, comme sa caractéristique est 3, on a

log 6739 = 3 ,8285955.

Soit encore le nombre 0,61087. On cherche 6108 dans la colonne marquée Num. On ne voit aucun nombre isolé en face de ce nombre, à la marge de la colonne o; mais, un peu plus haut, on rencontre 708 dans cette marge. On parcourt

GÎ4 ALGÈBRE ÉLÉMEiXTAiaE.

ensuite la ligne qui correspond au nombre 5io8 jusqu'à la colonne marquée 7, et l'on y trouve 8104. La partie décimale du logarithme demandé est donc 7088104 et, comme sa caractéristique est I, on a

logo, 51087 = 1 ,7083104.

Deuxième cas, — Si le nombre proposé ne fait pas partie des Tables, on déplace la \irgule dans ce nombre, de manière que sa partie entière soit la plus grande possibley tout en restant inférieure à 108000, c'est-à-dire contienne 5 ou 6 chiffres ('). Le logarithme du nombre ainsi formé a la même partie décimale que le logarithme du nombre donné, et Ton est ramené à chercher le logarithme d'un nombre décimal dont la partie entière est moindre que 108000.

Soit, par exemple, le nombre 356789,24- Nous devons chercher ici le logarithme du nombre 35678,924, en reculant la virgule d'un rang vers la gauche.

On trouve, en opérant comme dans le premier cas, que la partie décimale du logarithme du nombre 35678 est 5524oo5.

Mais c'est la partie décimale du logarithme du nombre 35678,924 qu'il faut obtenir. On admet alors (\\x'iljra proportionnalité entre les petits accroissements donnés à un nombre et les accroissements correspondants de son logarithme.

Comme nousle montrerons plus loin (369), ce principe n'est pas rigoureusement exact; mais, dans les limites de l'appronimation adoptée, on peut le vérifier à la simple inspection des Tables, en remarquant la valeur constante conservée par la différence tabulairelorsqu'on considère des séries de nombres consécutifs plus ou moins prolongées.

Dans l'exemple proposé, la différence tabulaire qui correspond au nombre 35678 est égale à 122 unités du septième ordre décimal. Elle représente l'accroissement subi parle logarithme, lorsque le nombre donné augmente d'une unité. En désignant par d l'accroissement que doit subir le même logarithme, lorsque le nombre donné augmente seulement de 0,924, on peut poser

(') Nous justiûerons plus loin (360) la nécessité de celle rè^\e.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHE. Git)

d'où

La Table des parties proporiionnelles, placée au-dessous de

la différence tabulaire 122, fait connaître immédiatement le

résultat de cette multiplication. On a, en effet, d'après cette

Table,

c'est-à-dire, en ajoutant,

La partie décimale du logarithme du nombre 35678,924 est donc finalement, en unités du septième ordre décimal,

Comme il s'agit, en réalité, du nombre 356789,24, on doit faire précéder cette partie décimale de la caractéristique 5 (359), et la question est résolue.

On indique, en général, le calcul de la manière suivante :

log 35678 =4>^5^4oo5 pour 0,9 1098

pour 0,02 244

pour 0,004 4^^

log 35678,924 = 4 >5524 1 18 log 356789 , 24 = 5 , 55241 18

On voit qu*î7 est inutile de tenir compte de plus de trois décimales dans le nombre préparé pour l'emploi des Tables, Les différences tabulaires atteignant seulement trois et même deux chiffres, les autres décimales n'ont aucune influence sur les derniers chiffres du logarithme, eu égard au degré d'npproximation adopté. En général, lorsqu'il faut séparer plus de trois chiffres sur la droite du nombre donné pour que la partie à gauche ne surpasse pas 108000, on doit compter le quatrième chiffre séparé à droite et les suivants comme des zéros.

Si l'on a à chercher le logarithme de 35,678924, on opère

6^6 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIEE.

absolument de la rnéme manière. Seulement, la caractéristique du logarithme est i, et Ton a

log 35,6^8924 = 1 ,55241 iB.

Si l'on a à chercher le logarithme de 0,0035678924, on suit encore la même marche. Seulement, la caractéristique du logarithme est négative (361 ) et égale à 3. On a donc

log o ,0035678924 = 3 , 5524 1 18.

365. Si Ton désigne par d Taccroisseraent d'un nombre, par d Taccroissement correspondant de son logarithme, par A la différence tabulaire, la proporlionnaliié admise dans le numéro précédent s'exprime d'une manière générale par la relation

-T- = - ou d = Arf.

366. Seconde question. — Un logarithme étant donné, trouver le nombre correspondant.

Nous supposerons que le logarithme donné n'a que sept décimales. S'il en avait davantage, on les supprimerait toutes au delà de la septième. En oiitre, comme la caractéristique du logariihmc donné ne doit servir qu'à indiquer l'ordre des plus hautes unités du nombre demandé, en en fait d'abord abstraction.

Premier cas. — Si le logarithme donné est compris dans les Tables, la recherche du nombre correspondant ne présente aucune difficulté.

Si Ton demande, par exemple, le nombre qui a pour logarithme 0,4623980, on cherche ^611 parmi les nombres isolés de la colonne marquée o; descendant ensuite dans cette colonne, on y trouve 3980 placé en face de 2900 dans la colonne marquée Num. C'est le nombre demandé, abstraction faite de l'ordre de ses plus hautes unités. Comme la caractéristique du logarithme donné est o, le nombre cherché est égal à 2,9*

Si l'on ne rencontre pas le nombre formé par les quatre derniers chiffres du logarithme donné dans la colonne marquée o, on s'arrête au nombre qui en approche le plus, par défaut. On suit la ligne correspondante, en la parcourant de gauche à droite, jusqu'à ce qu'on trouve les quatre dernières figures du logarithme. Le chiffre placé aux extrémités de la

ALGÈBRE ÊLÉMENTA.I11E. 647

colonne à laquelle on parvient ainsi est le cinquième chiffre du nombre cherché; les quatre premiers sont, comme cidessus, en face des quatre dernières décimales du logarithme, dans la colonne marquée Num.

Soit, par exemple, le logarithme /^^Si'jStSg; on cherche 5i7 parmi les nombres isolés de la colonne marquée o, on parcourt cette même colonne en descendant, et Ton trouve que 7236 est, avant 5i8, le nombre qui approche le plus de SiSg par défaut. On suit la ligne qui commence par 7286 et Ton trouve 8169 sur cette ligne, dans la colonne marquée 7. D'ailleurs, la ligne considérée répond à 8294 dans la colonne Num. Les chiffres qui composent le nombre cherché sont donc ceux du nombre 82947 et, comme la caractéristique du logarithme donné est 4» ^^ nombre est précisément celui qu'on demande.

Deuxième cas. — Si le logarithme donné ne fait pas partie des Tables, on opère comme il suit.

Soit, par exemple,

log^ = 2,7 i4563a«

En suivant la même marche que précédemment, on cherche dans la partie de la Table qui correspond aux nombres qui ont cinq chiffres à leur partie entière le logarithme qui approche le plus de iog^ par défaut.

On trouve ainsi

log5i827 =4>7ï4556i.

La différence des deux logarithmes est de 71 unités du septième ordre, et la différence tabulaire en cet endroit de la Table est égale à 84. Si Ton a recours alors à la proportionnalité admise (364) entre les petits accroissements des nombres et ceux des logarithmes, on voit que la partie décimale de log5i827 deviendra la même que celle de log^, si l'on augmente le nombre 61827 d'une quantité d donnée par

la relation

Pour réduire la fraction ^ en décimales, on peut se servir

de la Table des parties proportionnelles placée au-dessous de la différence tabulaire 84.

648 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

En consultant celle Table, on remarque que la partie qui approche le plus de 71 65167,2 qui répond au chiffre Sou à Oy8. On a donc

Parmi les parties de 84, celle qui approche le plus de 38 est 33,6, qui répond au chiffre 4 ou à 0,4* On a, par conséquent,

11 = 0,8 + 0,4 X o, I -f- 1^^ X o, I = 0,84 -f- Il X 0,01.

De même, parmi les parties de 84, celle qui approche le plus de 44 est 42, qui répond au chiffre 5 ou à o,5, et l'on a

^ = 0,84 -h 0,5 X 0,0H- j;y X 0,01 = 0,845 -4- rry X 0,00l.

On pourraitcontinuer; maiscomme, en passant des nombres aux logarithmes, il est inutile (36^) de conserver plus de trois chiffres décimaux au delà de la partie entière du nombre ramenée à cinq chiffres, si Ton remonte réciproquement des logarithmes aux nombres, on ne peut compter sur plus de deux ou trois décimales exactes.

On peut donc dire finalement que le nombre x et le nombre 51827,845 sont composés des mêmes chiffres; d'ailleurs, la caractéristique de log^ est 2. II en résulte (359j

On indique ordinairement le calcul de cette manière :

logar = 2,7145632 log5i827 =r 4,7145561

pour 0,8 67,2

pour 0,04 3,36

pour o,oo5 0,42

Après avoir obtenu les chiffres signiflcatifs qui composent le nombre cherché, chiffres qui ne dépendent que de la partie

ALGEBUE ÉLÉMERTAlHK. 649

décimale de son logarithme (360), il suffii de placer convenablemenl la virgule dans ce nombre, de manière à reproduire la caracléristique indiquée.

Si l'on a, par exemple,

\ogx = 0,7145632,

on en déduit

Si l'on a il vient

log j? = 3 , 7 145632,

367. £n se reportant au n^ 365, on voit que la relation fondameniale

donne, d'une manière générale,

d = Aflf,

quand l'inconnue est l'accroissement à donner au logarithme de la Table pour obtenir celui du nombre proposé; et

quand cette inconnue est l'accroissement à donner au nombre de la Table pour obtenir celui qu'on cherche,

368. A mesure qu'on avance dans la Table, on voit la différence tabulaire aller constamment en diminuant. £n effet, soient N etN-f-i deux nombres entiers consécutifs inscrits dans la Table. On a (35^)

log[N + 0 — logN = log— 1^— '■= log ( » + -^

Si N augmente, — diminue; l'expression ^-^tt converge vers I, et log ( i + ^) converge vers zéro (350)»