Nous avons dit plus haut (36^^) qu'on doit toujours

65o ALGÈIRI^ ÉLÉMKMTAIIIË.

opérer à i'oîde de la partie la plus élevée des Tables. En voici la raison.

Si l'on donne d'abord un accroissement A au nombre N, puis ensuite un accroissement 2/1, on a

log(N+ h) ~logN=rlog— ^ = log(i-+-^y log( N 4- 2A) - logN = log-^— = log f I -4-y j .

Les accroissements des nombres considérés N h- /i et N -f- 2A présentant ici le rapport 2, la proportionnalité admise précédemment (364) exigerait qu'on eût (353)

(«) Iog(.-f-^)=2lo6(. + |) ou , + ^=(, + 1)',

A* ce qui n'a pas lieu. Mais le terme ^^> qui empêche l'égalité

précédente d'êire vraie, estd'aulant plus petit que N est plus grand, de sorte que, si A est < i et N>> 10000, sa valeur,

moindre alors que — ^t ne peut influer sur les huit premières

décimales du second membre de l'égalité (a). La règle des parties proportionnelles [Jrithm., 443) conduit donc à un résultat exact, quand on ne conserve que sept décimales aux logarithmes, en se servant de la partie la plus élevée des Tables.

370. En résumé^ il résulte de ce qui précède que, le logarithme d'un nombre étant donné avec sept décimales, on peut obtenir, en général, ce nombre avec sept ou huit chiffres exacts. L'erreur commise sur un nombre, qu'on calcule d'après son logarithme, est donc moindre que la millionième partie de ce nombre; car, si l'on peut compter sur les sept premiers chiffres d'un nombre quelconque, il est obtenu à moins d'une unité dont il contient la valeur au moins un million de fois.

Calculs par logarithmes.

371. On peut avoir à ajouter awec d'autres logarithmes des logarithmes à caractéristiques négatives. 11 faut alors, en additionnant la colonne des caractéristiques, faire une opération

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 65 1

analogue à celle que nous avons indiquée relativement aux coefficients des termes semblables des polynômes (18).

Passons aux logarithmes souslractifs. Soit à retrancher de a le logarithme 3,6782136. On a évidemment

La partie entre parenthèses n'est autre chose que le complet ment à i de la partie décimale du logarithme {Jrithm., 30). On forme ce complément en retranchant de 9 tous les chiffres de cette partie décimale, sauf le dernier chiffre significatif qu'on retranche de 10. On a alors à ajouter un logarithme dont la partie décimale est devenue positive et dont la caractéristique est négative. Ainsi,

Soit maintenant à retrancher de a le logarithme 5, 1709872. On a évidemment

a — 5, 1709872 = a -^ 4 + (ï ~- <>i ï 709^72 )> d'où

On a alors à ajouter un logarithme tout entier positif.

Aux logarithmes ainsi transformés, nous donnerons le nom de logarithmes préparés, et nous les indiquerons par la lettre initiale L, surmontée du signe — .

Dans le premier exemple, nous avons dû augmenter la caraclérislique 3 d'une unité, et nous avons pris négativement le résultat 4 obtenu.

Dans le second exemple, nous avons dû augmenter la caractéristique 5 d'une unité, et nous avons pris positivement le résultat 4 obtenu.

Pour préparer un logarithme, c'est-à-dire pour ramener sa soustraction à une addition dans laquelle la soustraction, si elle existe, ne porte que sur la caractéristique, il faut donc augmenter sa caractéristique prise avec son signe d'une unité, changer le signe du résultat obtenu^ et écrire à la suite le complément de la partie décimale donnée.

Il vaut bien mieux opérer comme on vient de l'indiquer^ que de prendre le complément à 10; et cette simplification est sssentielle dès qu'on a à considérer plus de deux logarithmes.

002 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

Si Ton a à multiplier par un nombre entier un logarithme à caractéristique négative (361), il faut seulement, en multipliant la caractéristique négative, tenir compte des retenues positives fournies par le chiffre des plus hautes unités de la partie décimale. On a, par exemple»

Si l'on a à diviser par un nombre entier un logarithme à caractéristique négative, il faut nécessairement [362, 363) ajouter à la caractéristique autant d'unités qu'il est nécessaire pour qu'elle devienne un multiple du diviseur. Par compensation, on ajoute au chiffre des dixièmes de la partie décimale autant de dizaines positives qu'on a ajouté d'unités négatives à la caractéristique.

Si Ton a, par exemple, le logarithme 2,9102685 à diviser

par 5, on regarde la caractéristique comme égale à 5, et son

quotient par 5 est i. Puis, au lieu de diviser 9 dixièmes par 5, on divise 39 dixièmes par 5, de sorte que le chiffre des dixièmes du quotient est 7^ etc. On trouve

372. Lorsqu'on a à calculer une formule par logarithmes, il faut faire en sorte de ne passer aux nombres que le moins de fois possible.

Une formule n'est directement calculable par logarithmes que lorsqu'elle ne contient aucun signe + ou — , reliant des termes de degré supérieur au prçmier.

Une formule telle que ^a^— 6* n'est pas directement calculable par logarithmes, parce que, pour appliquer les logarithmes, il faut commencer par calculer les carrés a^ et 6'. Si on les calcule au moyen des Tables, on remonte donc trois fois aux nombres au lieu d'une seule : une fois pour a', une

fois pour 6% une dernière fois pour calculer ^a* — 6^

Dans un cas aussi simple, on lève immédiatement la difficulté en remplaçant a^ — b* par le produit (a + b) [a—b], et en calculant séparément a -h b et a — 6.

Oublier les simplifications analogues à celle que nous venons de rappeler, ce serait commettre une faute de calcul

ALGÈBRE éLÉMEKTAlHE. 653

grossière. Il faut donc toujours chercher à rendre, par des arlilîces convenables, la formule proposée directement calculable par logarithmes.

Soit demandé, par exemple, le volume d'un tronc de cône. r.a Géométrie donne immédiatement la formule [voir h Géoniélrie, t. II)

Ajoutons et retranchons dans la parenthèse le produit Rr. Il vient

V = ^(R>-l-2Rr-f-r»-Rr),

c'est-à-dire