Évaluer 87 minutes 34 secondes, en fraction d'heure

63. Une balle élastique rebondit à une hauteur qui est les - de celle

d*où elle est tombée. Après avoir rebondi 3 fois , elle s'élève à — do

mètre : trouver de quelle hauteur on l'avait laissée tomber d'abord.

64. 100 parties de poudre de guerre renferment y 5 parties d'azotate de potasse ou salpêtre, 12 parties et demie de charbon, 12 parties et demie de soufre. Trouver la composition de 82 kilogrammes de poudre.

65. Lorsqu'un liquide^ après avoir dissous une certaine quantité d'un sel à une température donnée, refuse d'en dissoudre davantage, on dit qu'il est saturé. Cela posé, sachant qu'une dissolution saturée de sel marin

^Oa QUESTIONS PROPOSÉES

renferme 27 parties de sel sur 100 parties, à la température ordinaire, et étant donnés 1200 kilogrammes d'eau salée renfermant 4 parties de sei sur 100 parties, on demande la quantité d'eau qu'il faut faire évaporer pour obtenir une dissolution saturée.

66. L'usure annuelle est sur les grandes routes de de mètre cube

par kilomètre parcouru et par tonne transportée. On demande la circulation moyenne journalière qui nécessite remploi annuel de 1800 mètres cubes de pierres cassées pour entretenir une route de i5oo mètres. Il faut remarquer que le mètre cube ù% pierres cassées ne renferme en réa-

lité, à cause des vides, que — de mètre cube de pierre.

67. La houille en morceaux pèse 810 kilogrammes par mètre cube, et le mètre cube de houille en morceaux ne représente, à cause des vides,

que — de mètre cube de houille en roclie. Un chemin de fer a brûlé une

certaine année 423(1050 kilogrammes de coke. On demande le volume occupé dans la mine par la houille qui a produit ce coke, sachant que la houille, en se transformant en coke, perd le tiers de son poids.

68. Une personne remplit son verre de vin pur et en boit le quart, elle achève de le remplir avec de l'eau et en boit le tiers, elle achève de le remplir avec de l'eau et en boit la moitié, elle achève en6n de le remplir avec de Teau et boit le verre entier. On demande combien elle a bu, chaque fois, d'eau et de vin, et combien elle a bu d'eau en totalité.

69. Trois sources alimentent un réservoir : la première et la deuxième, coulant ensemble le rempliraient en 3o heures ; la deuxième et la troisième, en 36 heures; la première et la troisième, en 24 heures. On demande en combien de temps le réservoir sera rempli ; i^ par les trois sources coulant ensemble; 2° par chaque source coulant isolément.

70. Démontrer que les fractions ^i —r?'* Ir^-^ sont équivalentes.

OD o5oâ ODO0O3

— Grénéraliser la question.

71. Un marchand achète deux pièces d'étoffe : la première, qui a 85", 45 de longueur, coûte 17^'', 85 le mètre; la seconde, qui a ii2*,25 de longueur, coûte 21'', 3o le mètre. Comme le marchaud paye comptant, on lui fait une remise de 6 pour 100 sur le prix total. Combien a-t-i! à payer?

72. Les farines se vendaient autrefois par sacs contenant 107 kilogrammes de farine: on les vend aujourd'hui par (pùntaux mètrîtptes de 100 kilogrammes. Cela posé, un marchand ayant acheté 342 sacs de farine au prix de 3i 786''", 85 la revend à raison de 63'*", 70 le quintal. On demande quel est son bénéGce total, et combien il gagne pour 100 sur son prix

SI3K l'arithmétique. ^o3

d'achat, en tenant compte du droit de commission des facteurs à la vente, qui est fixé h o'^So par quintal.

73. On traite annuellement dans une usine ii 25oooo kilogrammes de minerai de cuivre argentifère. Le minerai, sur loo parties, en contient 3,4 de cuivre et 0,0000696 d'argent. La perte en cuivre, due aux procédés d'extraction, est de 4 pour 100, et la perte en argent est de 5 pour 100. Calculer les productions annuelles de cuivre et d'argent et les valeurs correspondantes, en estimant à làio francs le kilogramme d'argent extrait, et à %'', 16 le kilogramme de cuivre.

74. Un cheval peut traîner une voiture contenant un poids de i5oo kilogrammes; sa vitesse est de 4'"°7'^5 par heure; le temps pour le chargement et le déchargement est évalué à 10 minutes. Pour un travail journalier de 10 heures, on paye 5 francs au conducteur de la voilure. Calculer le prix du transport de 5oo mètres cubes de terre à une distance de 97 mètres, sachant que le mètre cube de terre pèse 1600 kilogrammes.

75. Les profondeurs de trois puits artésiens sont 220 mètres, 395 mètres, 5»3 mètres; les températures des eaux correspondantes sont 19**, 75, 25", 33, 3o°, 5o. On demande de vérifier si le rapport qui existe entre les accroissements de température est égal à celui qui existe entre les accroissements de profondeur; on demande ensuite de calculer quelle température devrait avoir l'eau fournie par le troisième puits pour que l'égalité supposée pût exister.

76. I^ grand axe de l'orbite de la planète Mars est égal, en prenant pour unité le grand axe de l'orbite terrestre, à 1,52369. Sachant que, d'après Kepler, le rapport qui existe entre les carrés des temps pendant lesquels deux planètes exécutent leurs révolutions est égal à celui que présentent les cubes des grands axes de leurs orbites, on demande de trouver en jours la durée de la révolution de Mars, la Terre effectuant la sienne en 365 J, 25628.

77. Convertir 3 heures, 53 minutes, 7 secondes, en nombre décimal, l'heure étant prise pour unité.

78. Les mines de cuivre de la Grande-Bretagne ont donné, une certaine année, i526i5ooo kilogrammes de minerai, et l'on en a extrait 13900000 kilogrammes de cuivre. Le Chili et l'Australie ont fourni cette même année à l'Angleterre 4^490000 kilogrammes de minerai, et Ton en a extrait 9009000 kilogrammes de cuivre. On demande la richesse en cuivre du minerai indigène et du minerai importé, c'est-à-dire combien 100 kilogrammes de chacun d'eux fournissent de kilogrammes de cuivre.

79. On admet généralement que, à mesure qu'on s'enfonce dans le sol, la température augmente de i degré environ tous les 3o mètres. A Paris, la température, à 28 mètres au-dessous du sol, dans les caves de l'Obser-

^o4 QUESTIONS PROPOSÉES.

vatoire, est constante et égale à ii°,7. En supposant que la loi indiquée ne subisse aucune modification, on demande de calculer la température au centre de la Terre, le rayon de notre globe sensiblement sphérique pouvant être pris égal à 63G6 kilomètres.

80. Convertir chacune des fractions -7^) ~ en une somme de frac-

tiens ayant pour dénominateurs les puissances successives de la. Les deux sommes cherchées seront-elles composées d'un nombre limité ou d'un nombre illimité de fractions? — Généraliser la question.

81. Démontrer que le produit de deux fractions décimales périodiques simples moindres que Tunité est une fraction décimale périodique simple.

8^. On suppose qu'une fraction ordinaire irréductible, dont le dénominateur est un nombre premier autre que 2 et 5, donne naissance à une fraction décimale dont la période comprenne un nombre pair de chiffres, et Ton demande de prouver : 1° que, si Ton partage également la période, les chiffres qui se correspondent dans les deux parties sont toujours complémentaires par rapport à 9 ; 2° que les restes qui, dans l'opération de la réduction, répondent aux chiffres ainsi comparés, sont eux-mêmes complémentaires par rapport au dénominateur de la fraction ordinaire.

83. Calculer avec dix décimales exactes le produit des nombres 0,434294481903251, ... et 0,693147180559945,. . . .

84. Calculer avec dix décimales exactes le quotient du nombre o, 3oi 029995663981, • . . par le nombre o, 6931471 80559946 . . .

85. Lorsque deux fractions irréductibles ont des dénominateurs premiers avec 10 et divisibles Tun par l'autre, et qu'on les réduit en décimales, les nombres de chiffres des périodes correspondantes sont aussi divisibles l'un par l'autre.

SUR l'arithmétique. 70D