LIVRE QUATRIÈME

DES NOMBRES INCOMMENSURABLES

86. Les difTérences successives des carrés des nombres entiers consécutifs forment la suite des nombres impairs.

87. La cinquième puissance d'un nombre est toujours terminée par le môme chiffre que ce nombre.

88. Démontrer que la somme des n premiers nombres impairs est égale à/1».

89. Lorsqu'un carré est la somme de deux autres carrés, Tun des trois carrés est un multiple de 5, ou tous les trois remplissent cette condition.

SO. Le carré d*un nombre impair est un multiple de 8 augmenté de i.

91. Tout nombre impair, qui est la somme de deux carrés, est un multiple de 4 augmenté de i.

92. Si un nombre pair est la somme de deux carrés, sa moitié est aussi la somme de deux carrés.

93. Un nombre entier ne peut être un carré parfait, si, le chiffre de ses unités étant 6, le chiffre de ses dizaines est pair; ou si, le chiffre de ses unités étant i,4 ou 9, le chiffre de ses dizaines est impair.

9i. Un nombre pair, qui est la somme de deux carrés, est un multiple de 8 augmenté de a ou de 4.

95. La différence des carrés de deux nombres premiers entre eux ne peut être un carré que si la somme et la différence de ces deux nombres sont elles- mômes des carrés.

96. Quand on a déterminé un ou plusieurs chiffres de la racine carrée d'un nombre entier, et qu'on veut trouver le chiffre suivant, il faut effectuer une division dont le quotient est le chiffre cherché ou un chiffre trop fort. Démontrer que, si le nombre déjà écrit à la racine n'est pas inférieur à 5, le quotient considéré, s'il est plus grand que le chiffre cherché, ne peut le surpasser que d'une unité.

Db C. ~ Coun. L 4^

'Jo6 QUESTIONS PROPOSÉES

97. Si Ton écrit, les uns à la suite des autres, les chiffres qui représentent les dizaines des carrés entiers successifs terminés par le même chiffre (i, 4) 6 ou 9), la suite obtenue est périodique, la période a dix chiffres, et, de plus, deux chiffres de la période placés à égale distance des chiffres extrêmes sont égaux.

98. Si, à la racine carrée d'un nombre égal à l'unité augmentée d'une fraction proprement dite, on substitue l'unité augmentée de la moitié de cette même fraction, l'erreur relative commise est moindre que la huitième partie du carré de la fraction complémentaire.

99. Le prix d'un diamant étant proportionnel au carré de son poids, démontrer qu'en brisant le diamant en deux morceaux on diminue sa valeur, et que la dépréciation est maximum quand les deux morceaux ont des poids égaux. — Étendre cette proposition au cas où le diamant est séparé en un nombre quelconque de morceaux.

100. Démontrer que, si le reste de la division d'un nombre entier par ç, est 2, 3, i, 5, 6 ou 7, ce nombre n'est pas un cube parfait.

101. Démontrer qu'un nombre entier ne peut être un cube parfait: I** si, le chiffre de ses unités étant 2 ou 6, le chiffre de ses dizaines esl pair; 2° si, le chiffre des unités étant 4 ou 8, le chiffre des dizaines est impair; 3° si, le chiffre des unités étant 5, le chiffre des dizaines n'est ni 1 ni 7.

102. Si l'on écrit à la suite les uns des autres les chiffres des dizaines des cubes successifs, terminés par un même chiffre pair autre que zéro (2, 4i 6 ou 8), la suite obtenue est périodique et la période a cinq chiffres.

103. La diflérence entre le cube d'un nombre et ce nombre lui-même est toujours divisible par 6.

lOi. Le cube d'un nombre quelconque est un multiple de 7 augmenté ou diminué de i .

105. Chercher combien il y a de carrés parfaits et de cubes parfaits entre les deux nombres 78 et 728547. Remarquer a priori q\xe le nombre des carrés doit toujours être plus considérable que celui des cubes.

106. Comment peut-on reconnaître si un nombre entier donné esl la différence de deux cubes consécutifs, et, dans le cas où il en est ainsi, comment peut-on trouver ces deux cubes?

107. Quand on a déterminé un ou plusieurs chiffres de la racine cubique d'un entier, et qu'on veut trouver le chiffre suivant, on effectue une division dont le quotient est le chiffre cherché ou un chiffre trop fort. On demande de démontrer que, si le nombre déjà écrit à la racine n'est pas

SUR l'abithmétiqdb. ^07

inférieur à 10, le quotienl considéré, s'il est plus grand que le chiOre cherché, ne peut le surpasser que d'une unité.

108. Si N désigne un nombre entier dont la racine cubique a, au moins, 2 /z + 2 chiffres ; si a désigne le nombre formé par les /z -4- a premiers

chiffres de y^N suivis de n zéros, et q le quotient entier de la division de

N — f^ par 3rt*, on a v^ = a-^ q^ exactement ou à moins d'une unité.

409. Les deux nombres 4897, 85 et :i35, 786 sont l'un et l'autre affectés d'une erreur qui peut aller jusqu'à a unités de Tordre du dernier chiffre, en plus ou en moins. On demande de trouver le produit de ces deux nombres, en se bornant à calculer les chiffres sur Texactitude desquels on peut compter.

410. Les deux nombres 6784, 29 et 782, 268 sont l'un et l'autre affectés d'une erreur qui peut aller jusqu'à 3 unités de l'ordre du dernier chiffre, en plus ou en moins. On demande de trouver le quotient de ces deux nombres, en se bornant à calculer les chiffres sur l'exactitude desquels on peut compter.

111. Calculer, à moins de 0,00001, le carré et le cube du nombre

112. Calculer, avec la plus grande approximation possible, le quotient -^9 le nombre g ayant pour valeur 9,80896

113. Quelle est la plus grande approximation avec laquelle on puisse calculer le carré et le cube du nombre g,

il4. Calculer, à moins de 0,00001, le quotienl