Trouver la somme des n premiers termes de la suite

fj ^ ^a -^ b)r -^ [a -^ 'kb)r^ -^ (a -^ 36)r*-+- (fl-i- 4^)'"' I a^^\a^{,i^^\ h"] r^ hr( i— ^-« ) I ' l-r " ■*■ (i-r)' '

De C. — Cours, I. ^^

194. Trois nombres, dont la somme est i5, sont en progression par différence; si on les augmente respectivement de i, 4 et 19, ils deviennent en progression par quotient ; trouver ces nombres.

i95. On a quatre nombres, dont les trois premiers sont en progression par quotient et les trois derniers en progression par différence ; la somme des deux extrêmes est i4) la somme des deux intermédiaires est vi; trouver ces nombres.

196. Dans une progression par différence, on donne le premier terme, la raison et la somme des termes ; trouver le nombre des termes et le dernier terme. — Discussion.

197. Dans une progression par différence, on donne le dernier terme, la raison et la somme des termes ; trouver le nombre des termes et le premier terme. — Discussion.

198. Démontrer que, si a, ù, c sont en progression par différence, on a

" (a -^ b -i- cY = a*(b -+-c) -h b^(c -^- a) ■+■ c*(« -+- b) ; y

et que, si les mômes nombres sont en progression par quotient, on a

199. Trouver la limita de la somme des termes de la suite indéfinie

a -^ fir -h (a -^ ob) r* -»- [a-^-ab -^ nb*) r* -h (û 4- /#^ h- ab^ -t- ab^)r*-+- ... ,

r et br étant moindres que Tunilé.

rn{i^br-^br') 1

200. Si 7(7?) représente la somme des n premiers termes d'une pro* gression par différence, on a

ç(/ï -t- 3) — 3ç(/i -h a) -f- 3f («-Hi) — ç(/î) = 0.

201 . S. représentant la somme des n premiers termes d'une progression par quotient donnée, trouver l'expression de la somme

[a étant le premier terme et q la raison de la progression donnée, l'expression demandée est

-0 __ na 1

SUR l'algèbue élémentaire. 739

202. Si S représente la somme des n premiers termes de la proi^ression \r.a\aq\ nq^ : . . . , si S' représente la somme des n premiers termes de la progression H a : aq"^ : «9** : . . . , et si / est le dernier terme de la première progression, on a

flS = /S'.

203. :Dans une progression par quotient indéfiniment décroissante, chaque terme est dans un rapport constant avec la somme de tous ceux qui le suivent. Écrire la progression dans laquelle le rapport constant indiqué est égal à p.

201. Deux progressions, Tune par différence, l'autre par quotient, ont les mêmes termes extrêmes et le même nombre de termes; dans laquelle de ces progressions la somme des termes est-elle la plus grande?

2Gri. £n joignant les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque, on obtient un parallélogramme; en opérant de même sur ce parallélogramme et sur les suivants, on a une suite indéfinie de parallélogrammes inscrits les uns dans les autres; chercher la limite de la somme de leurs aires.

206. En joignant les milieux des côtés d*un triangle quelconque, on obtient un autre triangle sur lequel on peut faire la même opération, et ainsi de suite indéfiniment; chercher la limite de la somme des aires de tous les triangles inscrits ainsi les uns dans les autres.

207. Dans un cercle donné, on inscrit un carré; dans ce carré, on inscrit un cercle ; dans ce cercle, on inscrit de nouveau un carré, et ainsi de suite indéfiniment; chercher la limite de la somme des aires des carrés ainsi construits.

208. Dans un triangle équilatéral donné, on inscrit un cercle auquel on mène une tangente parallèle à la base du triangle ; dans le triangle équilatéral déterminé par cette tangente, on inscrit un nouveau cercle, et l'on continue indéfiniment la même opération ; chercher la limite de la somme des aires des cercles ainsi construits.

209. Si l'en fait tourner le triangle équilatéral donné dans la question précédente, autour de sa hauteur, on obtient un cône équilatéral; les différents cercles inscrits dans les triangles successifs engendrent une série de sphères inscrites dans le cône, et qui s*appuient tangentiellcment sur les plans parallèles à la base du cône décrits par les tangentes menées aux différents cercles parallèlement à la base du triangle principal ; chercher la limite de la somme des volumes des sphères ainsi construites.