Résoudre le système

logjr'H- logj^=2,457i94i, logx — log/ = 1 ,23-5206.

21 ri. Calculer, en myriamètres carrés et en myriamètres cubes, la surface et le volume de la Terre supposée sphérique.

216. Calculer, par rapport au mètre, la longueur du pendule qui bat la

seconde à Paris. ( La Mécanique donne la formule générale / = ^ k/-^ où

t exprime en secondes la durée d'une oscillation du pendule, -k le rapport de la circonférence au diamètre, / la longueur du pendule, g Taccélération due à Taction de la pesanteur. A Paris, on a ^ = 9", 8088.)

2i7. Trouver le logarithme du nombre i44 dans le système dont ja base est 2v^.

218. Démontrer que, si les nombres a, b, c sonten progression géométrique, log^N, log^N, log^N forment une proportion harmonique.

219. Calculer le poids d'une sphère d'argent de rayon égal à o*, 4832, en prenant 10, 4? pour poids spécifique de Fargent.

220. Calculer les dimensions du litre destiné à la mesure des liquides et celles du litre destiné à la mesure des matières sèches.

(On trouve, dans le premier cas, h = o",i72 et rf = o",o86, et, dans le second, h-^ d— o", 1084.)

2âl. Trouver la base du système dans lequel i3 est égal à son logarithme.

222. Chercher combien il faut prendre de termes dans la suite naturelle des nombres, pour que le produit correspondant surpasse un nombre donné, 10" par exemple.

223. Calculer la force ascensionnelle d'un ballon sphérique qui, vide

SUR l'àlgebre Élémentaire. y/^i

pèse 178*', 54 et qu'on remplit d'hydrogène. Le taffetas verni du ballon pèse o*^',a5 par mètre carré. L'hydrogène impur qu'on emploie pèse o*', I par mètre cube. Le mètre cube d'air atmosphérique pèse i*'', 3.

224. Dans un pays, le nombre annuel des naissances est 77 de la popu-

lation totale au commencement de l'année considérée, et le nombre annuel des décès est -r- de cette même population. Trouver en combien d'années

doublera le nombre des habitants de ce pays.

225. Calculer la valeur acquise au bout de 25 ans par un capital de 12 45o francs, placé à intérêts composés, au taux de 4,5 pour 100.

Si les intérêts sont capitalisés tous les six mois au lieu d'être capitalisés tous les ans, quelle est la valeur acquise par le même capital au bout du même temps?

226. Au bout de combien de temps un capital, placé à intérêts composés, au taux de 5 pour 100, acquiert-il une valeur triple?

227. Â quel taux faut-il placer un capital pour que sa valeur soit doublée en 12 ans, les intérêts étant capitalisés tous les six mois?

228. Â quel taux faut-il placer un capital pour qu'il soit triplé au bout de 25 ans, les intérêts ^tant capitalisés tous les ans?

229. On place à intérêts composés pendant 20 ans, et à la fin de chaque année, une annuité de 25oo francs. Calculer la valeur du capital ainsi produit, le taux adopté étant celui de 5 pour 100.

230. Quelle annuité faut-il placer, à la fin de chaque année, pendant 18 ans, pour constituer à la fin de la dernière année un capital de 85 600 francs? Les placements annuels sont effectués au taux de 4}^ pour 100.

231. On a placé à intérêts composés et à la fin de chaque année, pendant 25 ans, une annuité de 225o francs. Le capital ainsi produit s'élevant à ICI 345 francs, on demande à quel taux les placements successifs ont été effectués.

232. On emprunte i 000000 de francs payables dans 29 ans, au taux de 5 pour 100. Quelle annuité faut-il donner pour éteindre progressivement la dette? ( 66 046 francs. )

233. On place 100 000 francs à 4)5 pour 100 par an. On retire chaque année 2000 francs d'intérêt, et on laisse le reste des intérêts dus s'accumuler avec le capital. Au bout de 20 ans, après le prélèvement de la dernière annuité de 2000 francs, à quelle somme a t-on droit? (178 429 francs.)

Établir la formule générale qui correspond à ce problème.

231. Une Compagnie emprunte un capital C, qu'elle doit rembourser en payant tous les six mois une même somme a. Le taux de l'intérêt est

74^ QUESTIOIiS PROPOSÉES SUR l'àLGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

fixé à i pour i franc et pour 6 mois. Au bout de combien de semestres l'emprunt sera-t-il amorti?

Établir la formule générale qui correspond à ce problème, en vérifier 'exactitude en supposant a = C(i + /), et rappliquer aux données suivantes :

G = 6000000, 1 = 0,0225, fl = o,o3C.

235. Si Ton décompose la p^* annuité a^ appliquée au remboursement d'une dette G en deux parties, dont Tune est l'intérêt simple pendant la /^*"* année de la somme restant due au commencement de cette f/'^ ani née, et dont Tautre, que nous désignerons par a^, doit être affectée à l'amortissement de cette même somme, on a la formule

en désignant par n le nombre d'années qui correspond à l'extinction de la dette.

236. Trouver la valeur actuelle d'une rente annuelle payable pendant n années, le taux étant de r pour i franc, et le premier payement devant avoir lieu dans un an.

237. Trouver le plus grand terme du développement de (x h- a)". [Ce terme est ^(^Ti^ii'Lp^b.^i'"— /l^til ««^r-, k étant

le plus grand entier contenu dans la fraction — • 1