NUMÉRATION
Notions préliminaires.
1. On appelle grandeur tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution.
Les Malh/'matiques sont la science des grandeurs. A ce point de vue, tout serait du domaine des Mathématiques, car tout est susceptible d'augmentation ou de diminution; mais les Mathématiques ne traitent que des grandeurs mesurables. Le génie, le courage, la bonté échappent, par leur nature même, à tout procédé exact de mesure.
2. Mesurer une grandeur, c'est la comparer a une grandeur de même espèce prise pour unité, c'est chercher combien de fois elle contient cette unité.
Quand on a ainsi mesuré plusieurs grandeurs de même es-
De C. — Court. '
a ARITHMÉTIQUE.
pèce, on peut les comparer entre elles d'une manière précise en rapprochant les résuliats obtenus.
Le choix de Tunité, c'est-à-dire de la commune mesure des grandeurs proposées , est arbitraire; il faut seulement que cette unité soit parfaitement définie.
3. Le résultat de la comparaison d'une grandeur à son unité s'appelle rapport. On représente le rapport au moyen du nombre.
Nous ne nous occuperons d'abord que du cas où la grandeur à mesurer contient exactement son unité : on dit alors que le rapport obtenu et le nombre qui le représente sont entiers.
Quand on remplace ainsi la considération des grandeurs par celle des nombres correspondants, elles prennent le nom de quantités.
k. L'idée de nombre a son origine naturelle dans la réunion de plusieurs objets à la fois distincts et semblables; mais une remarque est ici nécessaire.
Si l'on pose cette question : Combien ce régiment renfermet-il d'hommes? le choix de l'unité est forcé. L'idée de pluralité domine alors celle de mesure.
Si Ton cherche, au contraire, à exprimer la capacité d'un réservoir, le choix de l'unité devient arbitraire et fait varier l'expression du résultat obtenu.
Dans les deux cas, l'indication de l'unité adoptée est indispensable. Seulement, dans le premier cas, cette unité représente simplement l'opération de compter ou de prendre un certain objet une fois; et ce n'est que dans le second cas qu'elle est un véritable terme de comparaison. On pourrait donc, pour éviter toute confusion entre l'idée de pluralité et celle de mesure, appeler module [*) d'une espèce de quantités celle qu'on aurait choisie comme mesure commune de ces quantités.
5. Quand on fait connaître la nature de l'unité adoptée, le nombre considéré est dit concret; quand on ne fait pas connaître la nature de cette unité, il est dit abstrait.
Le nombre abstrait est le véritable nombre, le nombre con-
(') F. Vallès, Science du Calcul.
crel se composani toujours d'un nombre abstrait et du module
choisi.
\J Arithmétique comprend Tétude des opérations à effectuer
•^iir les nombres abstraits (c'est le calcul proprement dit) et
l'étude de leurs propriétés élémentaires (c'est le point de déart d'un vaste ensemble constituant la Théorie des nombres).
6. Il y a une infinité de grandeurs, une infinité de manières de les comparer; par suite, une infinité de rapports et une infinité de nombres.
Il faut pouvoir nommer et écrire tous ces nombres. L'ensemble des procédés employés pour le faire le plus simplement possible constitue ce qu'on appelle un système de nu-mé rat ion.
On distingue entre eux les différents systèmes de numération par leur base, c'est-à-dire par le nombre de caractères qu'on y emploie.
Numération parlée.
7. Nous ne traiterons ici que de la numération décimale, et nous commencerons par exposer les règles de la numération parlée. Les principes trouvés s'appliqueront ensuite sans difficulté aux autres systèmes de numération. {Foir Chapitre VL)
Les premiers nombres ont reçu des noms indépendants les uns des autres; ce sont :
un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf.
Le nombre suivant, qui est la base du système, a été appelé dix ou une dizaine.
8. On ne donne ensuite de nouveaux noms qu'à des collections d'unités de dix en dix fois plus grandes :
Ainsi l'on forme une collection de dix dizaines, et on l'appelle cent ou centaine;
Une collection de dix centaines, et on l'appelle mille ou unité de mille ;
Une collection de dix unités de mille, et on l'ar^.elle dix mille ou dizaine de mille;
Une collection de dix dizaines de mille, ei on l'appelle cent mille ou centaine de mille;
Une collection de dix centaines de mille et on l'appelle million ou unité de million;
Une collecllon de dix millions, el on l'appelle dix millions ou dizaine de millions;
Une collection de dix dizaines de millions, et on l'appelle cent millions ou centaine de millions;
Une collection de dix centaines de millions, et on l'appelle billion ( * ) ou unité de billion, etc.
Ces collections successives, formées de nombres de dix en dix fois plus grands, portent le nom alunites des différents ordres. Un est l'unité du premier ordre, dix l'unité du second ordre, cent l'unité du troisième ordre, mille l'unité du quatrième ordre, dix mille l'unité du cinquième ordre, cent mille l'unité du sixième ordre, un million l'unité du septième ordre, etc.
Cette création des unités des différents ordres constitue en réalité toute la numération parlée et, par suite, la numération elle-même.
II faut remarquer que les mots unité, dix, cent se répètent constamment de trois ordres en trois ordres ou de trois rangs en trois rangs, et qu'un nouveau nom n'apparati que lorsqu'il s'agit des unités du quatrième, du septième, du dixième ordre, etc., qui deviennent ainsi des unités d'ordi-es ternaires, de mille en mille fois plus grandes.
9. Nous pouvons maintenant énoncer un nombre quelconque; car un nombre quelconque peut être décomposé en ses unités des différents ordres, le nombre de ces unités étant, pour chaque collection particulière, inférieur à dix.
Supposons qu'on veuille compter combien un sac contient de billes.
On rangera ces billes dix par dix, et l'on Onira par trouver une dernière collection inférieure à dix, qui comprendra, par exemple, sept biiles.
On rangera ensuite les collections de dix billes en les réunissant dix par dix à leur tour, et l'on finira par trouver une collection inférieure à dix dizaines de billes, qui comprendra, par exemple, neuf dizaines de billes.
On rangera ensuite les collections de cent billes en les réunissant dix par dix, et l'on finira par trouver une collection
(') Ou milliard.
înrérieure à dix centaines de billes, qui comprendra, par exemple, trois centaines de billes.
Supposons qu*il resie alors seulement cinq collections de dix centaines de billes; le nombre de billes contenu dans le sac pourra s'énoncer :
cinq mitle trois centaines neuf dizaines sept unités.
10. Si des unités d'un certain nombre viennent à manquer, on l'exprime en disant qu'elles sont en nombre zéro. Si le nombre précédemment énoncé ne contenait pas de ceniainesy par exemple, on pourrait dire qu'il est égal à
cinq mille zéro centaines neuf dizaines sept unités.
Numération écrite.
11. Les neuf premiers nombres sont représentés par les caractères ou chiffres
I, 2, 3, 4» 5» fii 7» 8, 9,
qu'on appelle chiffres significatifs, pour les distinguer du dixième caractère o qui représente le zéro.
12. Puisque, pour énoncer un nombre, il suffit d'énoncer combien il renferme d'unités des différents ordres (9), pour l'écrire il suffira aussi d'écrire les chiffres correspondant aux collections qui le composent.
II faut seulement pouvoir représenter par l'écriture adoptée la i^ucccssion établie entre ces collections;
La convention suivante résulte immédiatement du principe fondamental de la numération parlée :
Tout chiffre placé à la droite d'un autre vaut dix fois moins que s'il était à la place de cet autre, ou, en d'autres termes, exprime des unités de V ordre immédiatement inférieur.
D'après celte convention, pour écrire le nombre cinq mille trois centaines neuf dizaines sept unités, nous écrirons un 5 pour représenter les mille, un 3 à la droite du 5 pour représenter les centaines, un 9 à la droite du 3 pour représenter les dizaines, un 7 à la droite du 9 pour représenter les unités; et nous obtiendrons le nombre 5397.
S'il n'y a pas de centaines, on écrira 5097.
On voit que le zéro sert seulement à donner aux différents chiffres significatifs la valeur relative convenable.
