Supposons qu'on cherche la somme des trois nombres

Le principe énoncé (19) conduit immédiatement à écrire ces trois nombres l'un au-dessous de l'autre, de manière que les unités de même ordre se correspondent dans une même colonne verticale :

On additionne alors colonne par colonne, en commençant par celle des unités. jJ résulte de la numération aue, si le résultat

AniTHMÉTIQDE. 9

donné par une colonne ne surpasse pas 9, on doit récrire lel qu'on le trouve sous la colonne correspondante, en séparant par un trait horizontal les chiffres du total de ceux des nombres à ajouter. Si le résultat trouvé surpasse 9, on doit a écrire sous la colonne considérée que les unités de ce résultat, en ayant soin d'ajouter avec la colonne suivante autant d'unités que ce résultat contient de dizaines : ces unités forment ce qu'on appelle la retenue»

Ainsi, dans l'exemple proposé, la colonne des unités donnant 12 pour somme partielle, on pose 2 sous cette colonne» Cl Ton retient i pour l'ajouter avec la colonne des dizaines.

La colonne des dizaines donnant alors 6 pour somme partielle, on pose 6 sous cette colonne.

La colonne des centaines donnant 21 pour somme partielle, on pose I sous cette colonne, et Ton retient 2 pour l'ajouter aux raille de la colonne suivante.

La colonne des mille donnant alors i5, on pose 5 sous cette colonne, et l'on retient i pour l'ajouter aux dizaines de mille de la colonne suivante : on pose donc 2 sous cette dernière colonne, et la somme des nombres proposés est 25162.

22. On doit commencer l'opération par la droite; en effet, si on la commençait par la gauche et si quelques-unes des colonnes ajoutées fournissaient des retenues, on serait obligé, pour en tenir compte, d'effacer ou de modifier des chiffres déjà écrits.

23. On appelle preuve d'une opération une seconde opération ayant pour but de contrôler l'exactitude de la première.

Lorsque la preuve d'une opération réussit, l'exactitude du résultat est probable, elle n'est pas certaine.

L'addition étant la plus simple de toutes les opérations, sa preuve consiste en une autre addition. Si l'on a, par exemple, additionné en descendant, c'est-à-dire en allant de haut en bas, on recommence le calcul en montant, c'est-à-dire en allant de bas en haut(').

(') Quand on rGCommence de la même manière une addition fautive, il est *H«z ordinaire de refaire la même faute : si Ton a dit 3; et 9 font /|.î, il a été remarqoé qu'on était sujet a le répéter. En recommençant Taddition en sens iorerse, on rompt la consonnance, et Ton ne commet plus d'erreur, parce qu'on Ba plus à ajouter 87 et g.

lO ARITHMÉTIQUE.

On peut aussiy surtoui si l'on a beaucoup de nombres à ajouter, partager l'addition donnée en additions partielles. La somme des totaux partiels obtenus doit reproduire le total général trouvé d'abord.

Sonstraction.

24. La soustraction a pour but» deux nombres étant donnés, de chercher de combien d'unités le plus grand surpasse le plus petit.

Le résultat de l'opération s'appelle reste, excès ou différence.

La définition adoptée prouve que le plus petit nombre augmenté du reste trouvé doit reproduire le plus grand nombre.

On peut donc dire encore que la soustraction a pour but, étant donnés la somme de deux nombres et l'un de ces nom' bres, de trouver l'autre.

25. De même que pour ajouter plusieurs nombres on peut ajouter leurs différentes parties» pour soustraire deux nombres, on peut aussi retrancher successivement les unités, dizaines, centaines, etc., du second nombre, des unités, dizaines, centaines, etc., du premier, et grouper ensuite les résultats partiels obtenus.

26. Nous ne nous arrêterons pas aux cas simples de la soustraction, et nous admettrons que Phabitude a appris à soustraire immédiatement un nombre d'un seul chiffre d'un nombre d'un seul chiffre ou d'un nombre de plusieurs chiffres.

27. Passons au cas générai, et supposons qu'on ait à soustraire 357816 de 910549.

Nous nous appuierons ici sur ce principe évident :

La différence de deux nombres ne change pas quand on

les augmente tous les deux d'une même quantité.

La remarque faite plus haut (25) conduit à écrire le plus

petit nombre sous le plus grand, de manière que les unités

(le même ordre se correspondent dans une même colonne

verticale.

On retranche alors colonne par colonne en commençant par celle des unités. Si le chiffre inférieur est plus faible que le chiffre supérieur qui lui correspond, on écrit immédiatement le résultat trouvé sous la colonne considérée^ en séparant par\ un trait horizontal les chiffres du reste de ceux du nombre à soustraire. Si le chiffre inférieur l'emporte au contraire sur le chiffre supérieur^ on augmente ce dernier de dix, de manière que la soustraction soit toujours possible, mais par compensation on augmente d*une unité le chiffre inférieur de la co^ tonne suivante.

De celle manière, les deux nombres croissani d'une même quaniilé, leur dilTérence ne change pas, el la souslraciion peui se poursuivre jusqu'à la fin, comme dans le cas particulier où tous les chifïres du plus petîl nombre lombenl au-dessous de ceux qui leur correspondent dans le plus grand nombre.

Ainsi, dans l'exemple proposé, on dira 6 de 9 reste 3, qu'on pose sous la colonne des uniiés; i de 4 reste 3, qu'on pose sous celle des dizaines.

\rriv8 à la colonne des centaines, on ne peut retrancher 8 de 5. On dira alors 8 de i5, reste 7, en augmentant le chiffre supérieur de 10, c'est-à-dire le nombre supérieur de dix centaines ou d'un mille, et l'on écrira 7 sous la colonne des centaines.

Passant à la colonne des mille, on augmente par compensation le chiffre inférieur 7 d'une unité, ce qui revient à augmenter d'un mille le nombre inférieur, et Ton dit, en employant le même procédé, 8 de lo reste 2, qu'on écrit sous la colonne des mille.

On continue en disant 6 de 1 1 reste 5, ^ deg reste 5, et le reste demandé est 552733.

28. 11 faut commencer la soustraction par la droite; en effet, si on la commençait par la gauche et si l'on rencontrait dans le plus petit nombre quelques chiffres qui l'emportassent sur ceax qui leur correspondent dans le plus grand nombre, on serait obligé, pour faire croître les deux nombres donnés <i'ane même quantité, de modifier ou d'effacer des chiffres <i6jà écrits au résultat.

29. La preuve de la soustration s'effectue en ajoutant le nste trouvé au plus petit nombre : on doit ainsi reproduire le plus grand (24).

12 AUITHMKTIQUE.

Notions BUT les compléments.

30. On appelle complément arithmétique d'un nombre ce qu^ il faut ajouter à ce nombre pour former une unité de l'ordre immédiatement supérieur à celui de ses plus hautes unités, en d'autre termes, ce qu'il faut ajouter à ce nombre pour obtenir Vunité suivie d'autant de zéros qu'il contient de chiffres.

Pour avoir le complémenl d'un nombre, on le retranchera donc de l'unité suivie d'autant de zéros quMI a de chiffres. D'après cela, le complénieni de 682817 sera 317183.

3i7ib3

Pour faire cette soustraction, on peut regarder 1 000000 comnrïo égal à 999990 plus 10 unités, c'est-à-dire retrancher de 9 tous les chiffres de 682817, sauf le dernier que Ton retranchera de lo.

S'il y a des zéros à droite du nombre proposé, ils se retrouvent en nombre égal à droite de son complément : le complément de 6670 est 433o.

lOOOO

En résumé, la règle sera de retrancher de 9 tous les chiffres du nombre donné, excepté le dernier chiffre significatif à droite qu'on retranchera de 10, en ayant soin d'écrire à la droite du complément tous les zéros qui, à partir de ce chiffre, peuvent se trouver à la droite du nombre donné,

31. On peut transformer la soustraction en véritable addition au moyen des compléments. En effet, puisqu'on nr change pas la différence de deux nombres en les augmentant d'une même quantité, on peut ajouter à ces deux nombres le complément du plus petit: mais le plus petit nombre ai.gmente de son complément donne une unité de l'ordre immédiatement supérieur à celui de ses plus hautes unités. La soustraction sera donc ramenée à retrancher cette unité de In somme obtenue en ajoutant au plus grand nombre le complément du plus petit.

ARITHMÉTIQUE. l3

Soit à soustraire 57S190 de 1417813. On ajoutera 1417813 el^^iSio, complément de 678190, et, arrivé à la colonne des niiilions, on aura soin de diminuer d'une unité le résultat luurni par cette colonne :

3S. Quand il s'agit seulement de la soustraction de deux Dombres, Tusage des compléments n'offre aucun avantage; mais, si Ton doit ajouter et retrancher successivement pluisieurs nombres, il est bon de les employer. Nous verrons plus loin comment on simplifie les calculs par logarithmes, en s'appuvani sur ce qui précède.

Supposons qu'on ait en même temps à additionner les nombres 32843, 6S12, 25714» et à retrancher les nombres •*^i7, i34i5, 7216. Pour obtenir le résultat, il faut ajouter à pan \es trois premiers nombres et à part les trois derniers, puis retrancher l'un de l'autre les deux totaux obtenus.

Si l'on emploie ies compléments arithmétiques, on aura une seule opération à effectuer au lieu de trois. Il suffira, en ofei, d'ajouter aux trois premiers nombres les compléments des trois derniers, en ayant soin de retrancher, pour chaque amplement, une unité de l'ordre immédiatement supérieur 3 celui de ses plus hautes unités. On peut d'ailleurs, pour plus de commodité, écrire immédiatement cette unité souslractive a ia gauche de chaque complément, en la surmontant du si^ne —, qui indique qu'elle doit être retranchée du résultat fourni par les autres chiffres de la colonne correspondante. Uiableau ci-dessous permet de comparer les deux procédés:

l4 AB.ITHMÉTIQUE.