CHAPITRE III

MULTIPUCATION.

33. La multiplication a pour but de répéter ou d* ajouter un nombre appelé multiplicande autant de fois qu'il jr a d* unités dans un autre nombre appelé multiplicateur.

Le résultat de Topération s'appelle produit. Le multiplicande et le multiplicateur sont \%s facteurs du produit.

Multiplier 5 par 3, c'est répéter 5 trois fois.

La multiplication est une addition où tous les nombres à ajouter sont égaux.

Hnltiplication de deux nombres d'an seul chiffire.

34. Supposons d'abord qu'on ait à multiplier Tun par l'autre deux nombres d'un seul chiffre. On arrivera facilement au produit, en suivant la règle donnée pour l'addition. Mais, comme on ramène à ce premier cas tous les autres, il est essentiel de savoir par cœur les produits des nombres d'un seul chiffre par les nombres d'un seul chiffre. Ces produits sont renfermés dans une table appelée table de multiplication^ qu'on forme de la manière suivante :

lO

On écrit sur une ligne horizontaleles neuf premiers nombres ;

en les ajoutant a eux-mêmes, on obtient une seconde ligne qui renferme les produits des neuf premiers nombres par a; en ajoutant les nombres correspondants de ces deux premières lignes, on obtient une troisième ligne qui renferme les produits des neuf premiers nombres par 3; en ajoutant les nombres de la première ligne à ceux qui leur correspondent dans la troisième ligne, on obtient une quatrième ligne qui contient les produits des neuf premiers nombres par 4; on continue ainsi jusqu'à la neuvième ligne, en ajoutant toujours la première ligne avec la dernière formée, ce qui revient évidemment à augmenter chaque fois le multiplicateur d'une unité.

Il suit de la formation de la table que chaque ligne horizontale renferme les produits des neuf premiers nombres par le nombre qui la commence, et que chaque ligne verticale renferme les produits du nombre qui la commence par les neuf premiers nombres.

Cela posé, soit demandé le produit de 6 par 8 : ce produit devra se trouvera la fois dans la ligne horizontale commencée par 8 et dans la ligne verticale commencée par 6; il se trouvera à la rencontre de ces deux lignes et sera 48.

Multiplication d'un nombre de plusieurs chiffres par un nombre

d'un seul chiffre.

35. Soit à multiplier 4887 par 5. On a pour but de répéter 4837 autant de fois qu'il y a d'unités dans 5, c'est-à-dire d'ajouter 5 nombres égaux à 4887. On sera donc conduite répéter 5 fois chacun des chiffres du multiplicande. Mais, puisqu'on connaît les produits partiels correspondants d'après la table de multiplication, on pourra se dispenser d'indiquer l'addition, et écrire immédiatement les diiTérents résultats en tenant compte des retenues comme pour l'addition.

241 85 Ainsi, disposant le calcul comme il est indiqué, on dira :

5 fois 7 foni 35 : je pose 5 unilës et je reliens 3 dizaines; 5 fuis 3 font i5 ei 3 de retenue font i8 : je pose 8 dizaines et je retiens i centaine; 5 fois 8 font ^o et i de retenue font ^i : je pose I centaine et je retiens 4 mille; 5 fois 4 ^ont 20 et 4 de retenue font 24 : je pose 24 mille» c'est-à-dire 4 mille et

2 dizaines de mille.

11 est nécessaire de commencer l'opération par la droite, puisqu'elle n*est autre chose qu'une addition abrégée (22).

Multiplication de deax nombres de plnsienrs chiffres.

36. Passons au cas général de la multiplication; il repose sur le principe suivant :

Pour multiplier un nombre par un chiffre significatif suivi d'un ou plusieurs zéros, il suffit de multiplier ce nombre par le chiffre significatif et d* ajouter à la droite du résultat autant de zéros qu'il y en a à la droite de ce chiffre.

Si le chiffre significatif est l'unité, si l'on a par exemple 584 à multiplier par 100, le produit de 584 P^^ < étant 584, le résultai sera égal à 584oo. En effel, chacun des chiffres de 584 se trouve ainsi placé deux rangs plus loin vers la gauche, c'est-à-dire exprime des unités cent fois plus grandes et acquiert par conséquent une valeur centuple. La valeur d'un nombre étant formée de la somme des valeurs relatives des chiffres qui le composent, 584 ^^^^ Vi^ïi été multiplié par 100.

Soit maintenant à multiplier 584 P^^* ^^o* ^^ faudra additionner 3oo nombres égaux à 584. ^^^i^ ^^^ P^^^ partager une addilion en plusieurs additions partielles, et les sommes partielles ajoutées donnent le total demandé. Or, 3oo étant égal à

3 multiplié par loo d'après ce qui précède, on pourra additionner trois nombres égaux à 584, ^^ ^1 faudra répéter 100 fois la somme trouvée : ce qui se fera en écrivant deux zéros à la droite de celle somme; on obtiendra ainsi le même résultat qu'en effectuant l'addition de 3oo nombres égaux à 584. l^onc, pour multiplier 584 P^^ ^^^i î' suffit de multiplier 584 P^i* ^ et d'ajouter deux zéros à la droite du résultat; c'est ce que nous voulions établir.

37. Cela posé, proposons-nous de multiplier deux nombres quelconques l'un par l'autre : 9752 par 846, par exemple. Nous avons pour but de répéter le multiplicande 97^2 autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur^ c'est-à-dire

ARITHMÉTIQtlE. ÏJ

846 fois, OU encore 6 fois^ plus 4o fois, plus 800 fois. Nous

sommes donc conduits à mulliplier 9762 successivement

par 6, par 4o et par 800, puis à ajouter les produits partiels

obtenus:

Nous savons multiplier 9752 par 6, et le produit correspondant sera 585i2. Pour multiplier 9752 par 40, nous multiplierons 9752 par 4 6t nous ajouterons un zéro à la droite du résultat : nous obtiendrons ainsi 890080. Mais il est inutile d'ajouter ce zéro à la droite du produit de 9752 par 4* En effet, nous devons, pour préparer l'addition des différents produits partiels, les écrire Tun au-dessous de l'autre, en faisant correspondre les unités de même ordre. Le zéro ne comptant pas dans Taddition, il suffira alors d'écrire le produit 39008 sous le produit précédent, de manière que le chiffre de ses unités soit au rang des dizaines, c'est-à-dire corresponde au chiffre du multiplicateur employé pour le former. De même, pour multiplier 9752 par 800, on multipliera 9752 par 8, et l'on écrira le produit trouvé 78016 sous les produits précédents, de manière que le chiffre 6 de ses unités soit au rang des centaines : ce sera le reculer d'un rang vers la gauche par rapport au produit précédent, comme celui-ci l'a déjà été par rapport au preniier produit.

On ajoutera les trois produits partiels, et l'on obtiendra pour produit total le nombre 8250192, qu'on séparera des produits partiels qui ont concouru à le former par un trait horizontal; un autre trait doit séparer le multiplicande et le multiplicateur de ces mêmes produits partiels.

Pour multiplier deux nombres quelconques l'un par l'autre, la règle générale sera donc celle-ci : Multiplier successivement le multiplicande par tous les chiffres du multiplicateur en commençant par le premier à droite, écrire les produits obtenus les uns au-dessous des autres en reculant chacun d'eux d*un rang vers la gauche par rapport au précédent, ajouter tous ces produits.

De C. — Cours. 2

38. Il est essentiel (35) d'opérer les muUipHcalions parlielles en commençant par la droite du multiplicande; mais on peut employer les chiffres du multiplicateur dans un ordre quelconque, la seule précaution à prendre étant de faire exprimer à chaque produit partiel des unités de même ordre que le chiffre correspondant du multiplicateur.

Remarques sur la multiplication.

39. Remarque I. — Si les deux facteurs sont terminés par des zéros, il suffit de les multiplier, abstraction faite de ces zéros, puis d'en écrire un pareil nombre à la droite du résultat.

Ainsi, pour multiplier 327000 par 4200, on multipliera 827 par 4^, et Ton écrira cinq zéros à la droite du résultat.

En effet, multiplier par 4200 revient (36) à multiplier par 42, puis à ajouter deux zéros à la droite du produit obtenu; multiplier 827000 par 42 revient à multiplier 827 unités de mille par 4^» 6t ce produit contiendra autant d'unités de mille que le produit de 827 par 4^ contient d'unités. Il faudra donc^ à ta droite du produit de 827 par 4^^ écrire d'abord trois zéros, parce que le multiplicande représente des unités de mille, et ensuite deux autres zéros, parce que le multiplicateur représente des centaines.

40. Remarque II. — Le nombre des chiffres du produit est ai. plus égal au nombre des chiffres des deux facteurs réunis et, au moins t à ce nombre diminué de i.

Soit 2345 à multiplier par 889. 889 étant compris entre 100 et 1000, le produit sera compris entre 2345ooet a845ooo : il aura donc au moins six chiffres, et au plus sept chiffres.

La démonstration est générale, car l'unité de même ordre que les plus hautes unités du multiplicateur renferme toujours un zéro de moinà que ce multiplicateur ne contient de chiffres, et l'unité de l'ordre immédiatement supérieur renferme le même nombre de zéros.

On n'a souvent besoin que de connaître les plus hautes unités d'un produit : on y parvient en s'appuyant sur ce qui précède, et en considérant les chiffres des plus hautes unités des deux facteurs.

Dans l'exemple indiqué plus haut, le produit des deux chiffres qui représentent les plus hautes unités des deux fac-

ARITHMÉTIQUE. |y

leurs étani égal à 16^ le produit partiel correspondant au der- Dîer chiffre à gauche du multiplicateur contiendra 5 chlfifres et, comme il doit être reculé de deux rangs vers la gauche, le produit total renfermera 7 chiffres : ce produit est égal à 1967455.

Si l'on a a345 à multiplier par 289, le produit des chiffres extrêmes des deux facteurs étant égal à 4» on peut affirmer que le produit total n'aura que 6 chiffres : ce produit est égal à 560455.

41. Renâbque III. — On ne change pas un produit de deux facteurs en reni^ersant l* ordre de ces facteurs.

Soit 5 à multiplier par 3; ce produit est égal à celui de 3 par 5. En effet, multiplier 5 par 3, c'est répéter 5 unités 3 fois. Ecrivons trois lignes horizontales renfermant chacune 5 unités, ce tableau représentera le nombre d'unités contenues dans le produit de 5 par 3 :

Mais si, au lieu de considérer les lignes horizontales, on con* sidère les lignes verticales» on voit que ce tableau représente aussi 3 unités répétées 5 fois, c'est-à-dire le produit de 3 par 5. Les deux produits sont donc identiques.

tô. De même que pour faire la preuve de l'addition il faut la recommencer d'une autre manière, pour faire la preuve de la multiplication il faut la recommencer d'une autre manière. D'après ce qui précède (41), on renversera l'ordre des facteurs, et l'on devra trouver le même produit.

On pourrait encore faire la preuve de la multiplication, en évitant de former les différents produits partiels et en écrivant immédiatement les chiffres du produit total. Il sufGt pour cela de considérer successivement dans les deux fac* teurs les chiffres qui influent directement sur les différents chiffres du produit. Ainsi le chiffre des unités du produit provient seulement du produit des chiffres des unités des deux facteurs. Celui des dizaines est fourni à la fois par les dizaines du multiplicande multipliées par les unités du multiplicateur, et par les unités du multiplicande multipliées par les dizaines du multiplicateur. Le chiffre des centaines du produit

no ARITHMÉTIQUE.

correspond à trois produits élémentaires : centaines du multiplicande multipliées par les unités du multiplicateur, dizaines du multiplicande multipliées par les dizaines du multiplicateur, unités du multiplicande multipliées par les centaines du multiplicateur. On poursuivra facilement. Il est bien entendu qu'on doit toujours tenir compte des retenues.

SiSoiga

Si Ton prend l'exemple du n" 37, on dira : 6 fois a font 12, je pose 2 unités et je retiens i. 6 fois 5 font 3o, plus 4 fois 2 font 38, et i de retenue font Sg; je pose 9 dizaines et je retiens 3. 6 fois 7 font42» plus 8 fois 2 font 58, plus 4 fois 5 font 78, plus 3 de retenue font 81 ; je pose i centaine et je retiens 8. 6 fois 9 font 54, plus 4 fois 7 font 82, plus 8 fois 5 font 122, plus 8 de retenue font i3o; je pose o mille et je retiens i3. 4 fois 9 foritr36, plus 8 fois 7 font 92, plus i3 de retenue font io5; je pose 5 dizaines de mille et je retiens 10 Enfin, 8 fois 9 font 72 et 10 de retenue font 82; je poseS^cen taines de mille ou 2 centaines de mille et 8 millions.