THÉORIE DE LÀ DIVISIBILITÉ
Théorômes sur les diviseurs.
89. Lorsqu'un nombre en divise un autre sans reste, on l'appelle diviseur exact ou simplement diviseur de cet autre.
Lorsqu'un nombre admet un diviseur exact, on dit qu'il est divisible par ce diviseur ou qu'il en est un multiple ('); le diviseur^ à son tour, est un sous^multiple ou un facteur de ce nombre.
11 est utile de pouvoir juger, à certains caractères particuliers, si un nombre est diviseur exact d'un autre nombre, au moins dans les cas où le diviseur considéré est très-petit et la condition correspondante facile à vériner. On ramène la question à la recherche des restes fournis par un nombre quelconque, lorsqu'on essaye les diviseurs dont il s'agit. En l'fTet, si ce nombre divisé par 9, par exemple, donne un reste nul, ce nombre sera un multiple de 9.
Avant d'indiquer les conditions de divisibilité nécessaires à connattre dans la pratique, nous démontrerons plusieurs théorèmes essentiels sur les diviseurs.
(*) On f)cut dire, d'après cela, que la division a ponr but de chercher le plus grand mulUple du diviseur contenu dans le dividende.
De C. — Cours, I. /i
So ARITHMÉTIQUE.
90. I. lorsqu'un nombre est diviseur de chaque partie d'une somme y il est diviseur de cette somme.
En effet, puisqu'il est contenu exactement dans chaque partie de la somme, cette somme en est nécessairement un multiple.
Par la même raison, tout diviseur d'un nombre divise les multiples de ce nombre,
91. II. Lorsqu'un nombre en divise deux autres, il divise leur différence.
En effet, puisqu'il est contenu exactement dans chaque partie de la différence, cette différence en est nécessairement un multiple.
Il résulte de là que tout diviseur de deux nombres divise le reste de leur division; car, si Ton écrit l'égalité fondamentale (Gl)
D = dQ -4- R,
on voit que tout diviseur de D et de d l'est de dQ multiple de rf (90) et, par suite, de la différence D — <fQ == R.
On peut dire, d'après cela, que lorsqu'on divise le dividende et le diviseur d'une division par un même nombre, le quotient ne change pas, et le reste est divisé par le même nombre (68).
92. III. On ne change pas le reste d'une division en faisant varier le dividende d'un multiple du diviseur^ ce qui revient à dire que, lorsque deux dividendes ne diffèrent que d'un multiple d'un certain diviseur, ils donnent des restes égaux quand on les divise respectivement par ce diviseur.
En effet, le reste d'une division, représentant l'excès du dividende sur le plus grand multiple du diviseur qui y est contenu, ne dépend en rien de ce plus grand multiple, qu'on peut augmenter ou diminuer à volonté sans influer sur le reste.
On le voit encore en écrivant l'égalité
D = rfQ-4-R.
Si l'on augmente le dividende D d'un multiple md du dîviseur, le nouveau dividende B' satisfera à la nouvelle égalité
D'=rfQ + R-4-iii(/ = rf(Q-4.|n)+R,
qui prouve que le quotient de la seconde division est augmenté de m sans que le reste R varie.
93. IV. Réciproquement, si deux nombres divisés par un troisième donnent des restes égaux y leur différence est un multiple de ce troisième nombre.
Des deux égalités
D = rfQ-4-R et D'=rfQ'-4-R, on tire en effet immédiatement, en supposant D >> D^
D-.D' = rf{Q-Q').
94. V. Si l'on divise un produit P de plusieurs facteurs par un certain nombre, on obtient un certain reste ; si Von divise ensuite chaque facteur par le même nombre^ si Von multiplie entre eux les restes successivement obtenus, et si l'on divise encore leur produit par le même nombre, on trouve le reste déjà donné par le produit P.
On énonce plus rapidement ce théorème en disant : Le reste d'un produit est égal au reste du produit des restes desfac^ leurs, le diviseur employé restant le même.
Soient le produit P = ABC et le diviseur d. Divisons respeciîvemenl les facteurs A, B, C par d. Si nous représentons, d'une manière générale, par mult. de d le plus grand multiple du diviseur renfermé dans chaque dividende, et si nous désignons par r, r', r" les restes correspondant aux divisions successives, nous aurons les égalités suivantes :
A = mult. de rf-h r, B = mult. de rf-i- r', C = mult. de rf-i- r".
Ces égalités montrent (63) que le produit AB se compose de quatre termes dont les trois premiers sont multiples de d et dont le dernier est rr', de sorte qu'on peut écrire
AB = mult. de rf 4- rr\
De même le produit ABC se compose à son tour de quatre termes, dont les trois premiers sont aussi multiples de d et dont le dernier est rr'r". On a donc finalement
ABC=:P = mult. derf-^-^^'/•^
5 a ATlITHMtTIQUE.
Les deux produits P et rr' r*^ différant d'un multiple de d donneront des restes égaux quand on les divisera respectivement par d (92).
Caractères de divisibilité par 2, 5, 3, 9, il, 7.
95. I. Pour qu'un nombre soit divisible par 2" ou 5"*, il faut et il suffit que le nombre formé par ses m derniers chiffres à droite soit divisible par 2" ou 5".
En effet, tout nombre peut se décomposer en ses unités du (/n-4-i)''*" ordre, plus le nombre formé par ses m derniers chiffres à droite. Les unités du (m ■+- 1)'*"* ordre sont suivies de m zéros, c'est-à-dire qu'elles sont toujours (76) un multiple de io'"ou de s^xS*, puisque 10 = 2x5. Il en résulte que la première partie du nombre donné est toujours divisible par 2* ou 5*", et que le reste de sa division par 2" ou 5" né peut provenir que du nombre formé par ses m derniers chiffres à droite (92).
En particulier, supposons d'abord m = 1 . Nous en déduirons la règle suivante : Pour qu'un nombre soit divisible par 2 ou par 5, il faut que son dernier chiffre à droite, c'est-à-^ire le chiffre de ses unités, soit divisible par 2 ou par 5.
Quand un nombre est divisible par 2, on dit qu'il est pair: il est impair dans le cas contraire. On regarde o comme le premier nombre pair. Donc un nombre est divisible par 2 quand le chiffre de ses unités est pair; il est divisible par 5 quand le chiffre de ses unités est o ou 5.
Supposons m = 2. Nous en déduirons cette seconde règle : Pour qu'un nombre soit divisible par 7} ou par 5*, c'est-à-dire par^ ou par aS, il faut que le nombre formé par ses deux dertiers chiffres à droite soit divisible par 4 ou par 25.
Supposons encore m = 3. Nous en déduirons cette troisième règle : Pour qu* un nombre soit divisible par 2} ou par 5^, c'est-à-dire par 8 ou par i25, il faut que le nombre formé par ses trois derniers chiffres à droite soit divisible par 8 ou par 1 25.
96. II. Pour quun nombre soit divisible par 9 ou par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 9 ou par 3,
Nous partagerons la démonstration en trois parties.
▲KITHMÉTIQUB. 53
1* L' unité f suivie d'un nombre quelconque Je zéros, est un multiple de Q ou de 3 j plus i.
En effet, un nombre formé seulement de 9 est un multiple de g ou de 3, car, divisé ps^r 9 ou par 3, il donne au quotient autant de i ou de 3 qu'il renferme de 9 (52). De plus, si Ton ajoute I à ce nombre, on obtient l'unité suivie d'autant de zéros qu'il contient de 9.
2* Un chiffre significatif autre que l'unité , suivi d'un nombre quelconque de zéros, est un multiple de 9 ou de 3, plus ce chiffre.
On a, par exemple»
5ooor=iooox5,
d'où (63)
5ooo = (un mult, de 9 ou de 3 -1- 1 ) x 5 == un mult. de 9 ou de 3 + 5.
3° Soit maintenant un nombre quelconque 8^643. On peut le décomposer en ses unités des différents ordres et poser
On pourra écrire alors, d'après ce qui précède, les égalités suivantes ;
80000 = un mult. de 9 ou de 3 + 8
2000 = un mult. de 9 ou de 3 -^ 2
Goo = un mult. de 9 ou de 3 -f- 6
40 = un mult. de 9 ou de 3 -f- 4 3 = 3
Si on les ajoute membre à membre, on trouve
82643 = un mult. de 9 ou de 3 -h (8 -I- a 4- 6 -4- 4 + 3)«
Le reste de la division de ce nombre par 9 ou par 3 ne peut 'lonc provenir que de la somme de ses chiffres (92) : le théorème est, par suite, établi.
Dans la pratique, on fait la somme des chiffres en supprimant 9 successivement, et Ton dit ; 8 et 2, 10; i et 6, 7; 7 et 4» 1 1 ; ^ 61 3) ^* ^ 6S^ 1^ reste de la division du nombre considéré par 9. Si Ton essaye te diviseur 3, on fait la somme des chiffres, et on la divise directement par 3. On dit : 8 et
54 ÂRITRMÉTIQUB.
2, lo; lo et 6, i6; i6 et 4> 20 et 3, 28. 23 divisé par 3 donne 2 pour reste. 2 est le reste de la division du nombre considéré par 3.
97. III. Pour qu'un nombre soit divisible par 1 1, il faut et il suffit que V excès de la somme de ses chiffres de rang impair à partir de la droite, sur la somme île ses chiffres de rang pair, soit divisible par 1 1 .
Nous partagerons la démonstration en trois parties.
I* L'unité suivie d'un nombre impair de zéros est un multiple de 1 1 moins 1, et l'unité suivie d'un nombre pair de zéros est un multiple de 11 plus i .
En effet, divisons par 11 l'unité suivie d'un nombre quelconque de zéros, et prenons successivement pour dividendes lOy 100, 1000, loooo, 1 00000, etc..
loooooo. . .
Les chiffres o et 9 se reproduiront périodiquement au quotient, et les restes correspondants seront alternaiivement 10 et I.
Il en résulte (61) que Tunité suivie d'un nombre impair de zéros est un multiple de 11 plus lo, c'est-à-dire, puisque 10=11 — I, un multiple de 11 moins i, tandis que l'unité suivie d'un nombre pair de zéros est un multiple de ii plus i.
2® Un chiffre significatif autre que l'unité ^ suivi d'un nombre impair de zéros, est un multiple de 11 moins ce chiffre; et un chiffre significatif autre que l'unité, suivi d'un nombre pair de zéros, est un multiple de ii, plus ce chiffre.
Soit 5ooooo. On aura
SoDooo = 1 00000 X 5 = ( un mult. de 11 — 0 X 5> c'est-à-dire (64)
Sooooo = un muli. de 11 — 5.
Soit 8000000. On aura
8000000 = loooooo X 8 = (un mult. de 1 1 + 1) X 8»
c'est-à-dire (63)
8000000 = un mull. de i n- 8,
3^ Soîi mainlenani le nombre 487569. On pourra le décomposer en ses unités des diflFérenls ordres ei poser
487569 = 4^0000 H- 80000 4- 7000 -h 5oo + 60-4-9.
On pourra alors écrire, d'après ce qui précède, les égalités suivantes :
400000 = un mult. de n — 4
80000 = un mult. de 1 1 + 8
7000 =r un mull. de 1 1 — 7
5oo = un mult. de 1 1 + 5
60 = un mult. de 1 1 — 6
Si on les ajoute membre à membre, on trouve
487569 = un mult. de 11 — 4-*-8 — 7-f-5 — 6-4-9
ou
487569 = un mult. de m-(9-f- 5-f- 8)— (6 + 7 +4);
ce qui démontre le théorème (92).
Le reste de la division du nombre propose par 11 ne peut provenir que de l'excès de la somme 9 + 5 -t- 8 sur la somme 6 -h 7 -4- 4 j 'J est donc, dans l'exemple considéré, égal à 5.
Il peut arriver que la somme des chiffres de rang pair l'emporte sur la somme des chiffres de rang impair. Dans ce cas, on augmente la somme des chiffres de rang impair d'autant de fois II qu'il est nécessaire pour que la soustraction soit possible. En effet, on peut toujours détacher ce nombre de fois 1 1 du multiple de 11 qui forme la première partie du nombre donné. Soit 35291. On aura
35291 = un mult. de ii-h 6 — 14.
Si l'on détache une fois 11 du multiple de 11, on aura
35291 = ^^ mult. de 1 1 -h II -h 6 — i4
= un mult. de in- 17 — i4 = un mult. de 11 -H 3.
98. Indiquons maintenanl la marche à suivre dans un cas quelconque, et prenons pour exemple le diviseur 7.
Divisons par 7 l'unité sijivîe d'un nombre quelconque de zéros, et examinons si la série des restes obtenus en prenant pour dividendes successifs l'unité et les différentes puissances de 10 présente une loi qui permette de substituer à la division directe du nombre proposé par 7 une suite d'opérations conduisant plus rapidement au résultat cherché.
3o ao 5o
On a successivement pour restes les nombres i, 3, 2, 6, 4» 5. La septième division ramène le reste i . Se retrouvant ainsi au point de départ, on voit que, si l'on continue la division, les restes primitifs se reproduiront périodiquement et dans le même ordre. D'ailleurs
On a donc les égalités suivantes :
1 = 1, 10 = mult. de 7 -4- 3, 10' = mult. de 7 -+- 2,
10' = mult. de 7 — 1 , 10* = mult. de 7 — 3, 10* = mult. de 7 — 2 ,
io*= mult. de 7 -+- 1, 10' = mult. de 7 -f- 3, lo' = mult. de 7 -h a,
io*= mult. de 7 — I, io'*= mult. de 7 — 3, 10" = mult. de 7 — 2,
et ainsi de suite indéfiniment.
II en résulte que les unités des différents ordres sont des multiples de 7 augmentés respectivement, en allant de droite à gauche, des nombres i, 3, 2, pour chaque tranche ternaire de rang impair, et diminués respectivement des mômes nombres potir chaque tranche ternaire de rang pair.
D'ailleurs, si l'on remplace l'unité d'un certain ordre par un chiffre significatif quelconque suivi du môme nombre de zéros, on obtiendra un résultat analogue, le multiple de 7 devant être augmenté ou diminué, d'après le rang considéré, du produit du chiffre significatif par l'un des nombres périodiques i , 3, 2.
D'après cela, soit le nombre 94675813. On écrira au-dessous, de droite à gauche, les chiffres i, 3, 2, en les répétant autant de fois qu'il sera nécessaire.
On multipliera respectivement par ces chiffres les chiffres immédiatement supérieurs du nombre proposé, on ajoutera les produits corres-
AIIITHMÉTIQTIE. 67
pondant aux tranches ternaires de rang impair à partir.de la droite, on en retranchera ceux qui sont fournis par les tranches ternaires de rang pair, elle résultat ainsi obtenu donnera le môme reste que le nombre considéré, quand on le divisera par 7. On parvient ici à ]5 qui, divisé par 7, donne le reste i. Tel est donc aussi le reste de la division de 94675813 par 7.
Ce procédé est évidemment beaucoup trop compliqué pour qu'on le suive dans la pratique. II est beaucoup plus simple de prendre le septième du nombre donné (52).
On simplifie un peu en remarquant que, d'après ce qui précède,
io'= mult.de 7 — I, io*= mult. de 7-hi, io'= mult.de 7 — i,....
On en conclut que, dans un nombre entier quelconque, les différentes tranches ternaires de rang impair à partir de la droite sont des multiples (le 7 augmentés de la valeur absolue de la tranche, tandis que les tranches ternaires de rang pair sont des multiples de 7 diminués de la valeur absolue de la tranche.
Par suite, tout nombre est un multiple de 7 augmenté de la somme de ses tranches ternaires de rang impair et diminué de la somme de ses tranches ternaires de rang pair.
Donc, pour qiCun nombre soit dmsihle par 7 , il faut et il suffit que y st on le partage en tranches de trois chiffres, de droite à gauche y V excès de la somme des tranches de rang impair sur la somme des tranclics de ning pair soit divisible par 7.
Dans (exemple ci-dessus, on obtient pour cet excès le nombre aSa qui, divisé par 7, donne i pour reste.
On pourrait opérer de la même manière pour tout autre diviseur et arriver ainsi à des règles plus ou moins curieuses, plus ou moins pénibles à appliquer. Mais, sans nous arrêter à ces cas particuliers, nous allons montrer ce qu'il y a de général dans les caractères de divisibilité trouvés jusqu'à présent.
Généralisation des résnltats précédents.
99. On peut appliquer à tout système de Numération les raisonnements qui ont conduit aux caractères de divisibilité par 9 (qui est la base décimale moins 1) et par 11 (qui est la base décimale plus 1).
Par conséquent, dans tout système dont la base est a, T uni té suivie d'un nombre quelconque de zéros, c'est-à-dire une puissance quelconque r/" de la base, est un multiple de (a — i), augmenté de i. On a alors
«*= mult. de [a — i) -+- 1,
c'est-à-dire
ff— I = mult. de [a — i).
On peut donc énoncer ce premier théorème :
Quels que saient la base a et V entier w, û*" — 1 est towours divisible para — i»
58 AniTHMÉTlQUE.
De même, dans tout système dont la base est a, l'unité suivie d'un nombre impair de zéros, c'est-à-dire une puissance impaire quelconque ^7k+i ^Q |g hBse, est un multiple de (a + 1) diminué de i ; et Tunité suivie d'un nombre pair de zéros, c'est-à-dire une puissance paire quelconque a^ de la base, est un multiple de (/i + 1) augmenté de i. On a alors
/i»*"*^'= mult. de (/î-hi) — I ou fl"*'-»-i= mult. de |<n-i) et
/?** = mult. de (û -f- 1) -h I ou à^ — i» mult. de (û-m).
On peut donc énoncer ce second théorème :
Qtiels que soient la base a et rentier /w, fl"-+-i est toujours divisible par (fl -4-i) quand m est impair, et c^ — i est toujours divisible par a -»- 1 quand m est pair.
100. Soit maintenant un nombre quelconque N écrit dans le système dont la base quelconque est a. Partageons-le en tranches de m chiffres, en aHanl de droite à gauche; la dernière tranche à gauche pourra avoir moins de m chiffres. Désignons par A, B, G, D,. . . les valeurs absolues des tranches obtenues. On peut évidemment (81) mettre N sous Tuno des trois formes suivantes :
N = A -h (B -*- C^i*-i- Dû*-H-. . .)rf",
N=A-hBH-C-+.D-h...-4-B(a-— i)-f-C(fl«— i)-hD(a^— i)-i-.,.,
L'examen de ces différentes formes conduit à trois théorèmes généraux, dont nous n'avons vu jusqu'à présent que des applications particulières.
101. pREiiiÈRB FORME. — Tout divisour de rf divise un multiple de cT. Donc, pour quun nombre soit divisible par un diviseur quelconque de la m^ puissance île la base, il faut et il suffit que le nombre formé par ses m derniers chijjfres à droite admette ce diviseur (95).
102. Deuxième forme. — Nous venons de voir (99) que a"— i est toujours divisible par a — i. n en résulte que â^— i est toujours divisible par a^—i,x étant un entier quelconque. En effet, si l'on remplace a^ par a, if^ devient a* (74), et la division indiquée revient à celle de «'— i par a — i. D'ailleurs tout diviseur d'un nombre divise ses multiples. Donc, pour qu*un nombre soit divisible par un diviseur de la nfi^ puissance de la base, diminuée de i, il faut et il suffit que la somme des valeurs absolues des tranches de m chiffres formées dans ce nombre, en allant de droite à gauche, admette ce diviseur (96).
Par exemple, si l'on divise looo par 87 en revenant au système décimal, on trouve i pour reste. Par suite, 37 est un diviseur de lo"*— i. Donc, pour qu*un nombre soit e/ivisible par 37, // faut et il suffit que la somme des valeurs absolues de ses tranches ternaires soit divisible par 37.
ÀHITHMÉTIQUE. 5q
Le nombre 4^^37819 donne 1 101 pour somme de ses tranches ternaires. Cn appliquant la même règle à iioi, la question est ramenée à diviser 102 par 37. Le reste de la division du nombre proposé par 37 est donc a8.
103. Troisième forme. — Nous venons de voir (99) que a"+i est toujours divisible par a + 1 quand m est impair, et que a* — i est tou* jours divisible par le même diviseur quand m est pair. Il en résulte que fl"-Hi est toujours divisible par fl*-Hi quand rentier x est impair, et que ûT* — I est toujours divisible par le méime diviseur quand l'entier x est pair. En effet, si Ton remplace «* par a, a^ devient a* (74), el l'on a à diviser par a+i : dans le premier cas, a'+i, et dans le second af—i.
D'ailleurs tout diviseur d'un nombre divise ses multiples. Donc, pour qu*un nombre soit divisible par un diviseur de la nfi^ puissance de la base augmentée de 1, il f tua et il suffit que, le nombre proposé ayant été partagé en tranches de m chiffres comme nous V avons dit, r excès de la somme des ^valeurs absolues des tranches de rang impair sur la somme (les valeurs absolues des tranches de rang pair admette le diviseur consi' (téré{97).
Par exemple, si Ton divise 1000 par 7, en revenant au système décimal, CD trouve pour reste 6 ou 7 — i. Si Ton divise de même 1000 par i3, on trouve pour reste 12 ou i3 ~ i. Par suite, 7 et i3 sont des diviseurs de 10* -h I.
Donc, pour qu'un nombre soit divisible par 7 ou par i3, il faut et il suffit qur r excès de la somme des valeurs absolues de ses tranches ternaires de rang impair sur la somme des valeurs absolues de ses tranches .ternaires de rang pair soit divisible par 7 ou par i3.
Le nombre 82678213927 donne pour cet excès le nombre i3io. En appliquant la même règle à i3io, la question est ramenée à diviser 309 par 7 ou par i3. Le reste de la division du nombre proposé par 7 est donc i ; le reste de sa division par i3 est 10.
Preuves des qnatre opérations, an moyen des caractères
de divisibilité.
i04. Pour faire ces preuves, il vaut mieux employer un diviseur tel que 9, parce que tous les chiffres du résultat concourent alors à la preuve 96), ce qui n*aurait pas lieu pour les diviseurs qui sont des puissances de 2 ou de 5 (9S).
105. AnornoN et soustraction. — Soit à additionner les nombres 8457,
2392, 1547; leur somme est égale à 12396. On aura les égalités sui-
vaoïes (06] :
8457 = un mult. de 9 H- 6,
2392 = un mult. de 9 -h 7,
1547 = ^^ mult. de 9 -h 8,
12396 = un mult. de 9 ~h 3.
60 ARITHMÉTIQLE,
En comparaot les trois premières égaillés et la dernièro, on voit qae la somme des restes partiels 6 + 7 -4- 8 ne doit différer du reste 3 que d'un multiple de 9 ; ce qui a lieu en effet.
Soit à soustraire les nombres 82357 et 19863 : leur différence est 62504. Il faudra, d'après ce qu'on vient de dire pour Taddition, que la somme des restes fournis par le plus petit nombre 19853 et la différence 62604 ne diffère du reste donné par le plus grand nombre 82357 que d'un multiple de 9. Le reste de la division de 82357 par 9 est 7, celui de la division de 62604 est 8, comme celui de la division de 19863. La somme 8 + 8 ou 16 diffère bien de 7 d'un multiple de 9.
106. M1TI.TIPLIGAT10N. -^ La preuve de la multiplication par 9 résulte immédiatement du théorème démontré au n*^ 94. Nous indiquerons donc seulement la marche à suivre sur un exemple. Sost 4832 à malUpIier par 627. Le produit est 3029664. Le reste de la division de ce prodait par 9 est 3. Les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur par 9 sont 8 et 6. Le produit de ces deux restes est ^Syei le reste de la divL^ion de ce produit par 9 est 3, comme on l'a déjà trouvé pour le produit 3029664 : l'exactitude de la multiplication est donc probable.
107. Division. — S'il s'agit de vériBer une division, on n'a qu'à appliquer ce qu'on vient de dire pour l'addition et la multiplication, puisque je dividende doit être égal au produit du diviseur par le quotient, plus le resté. Soit à diviser 3031991 par 4832; on trouve pour quotient 627 et pour reste 2327^ Le dividende divisé par 9 donne pour reste 8. Le produit du diviseur par le quotient donne, d'après ce qui précède, le même reste que le produit 8x6 des restes obtenus en divisant séparément par 9 le diviseur etje quotient : ce reste est donc 3. Enfin le reste 2327 de l'opération, divisé par 9, donne pour reste 5. Il faut donc que la somme des deux derniers restes 3 + 5 soit égale au premier reste trouvé 8 ou n'en diffère que d'un multiple de 9.
108. Si l'erreur commise dans une opération était juste égale à un multiple du diviseur employé, la marche indiquée ne pourrait la faire découvrir.
iRITHMÉTIQUE. 6l
