III. Réciproquement, lorsqu*on divise le plus petit
commun multiple m de plusieurs nombres a, b, c, par chacun
d'eux, les quotients obtenus q, q\ q" y sont premiers entre eux
dans leur ensemble.
On a, en effet,
m = aq= bq' = cq" ,
Si g, ^', g^, n'étaient pas premiers entre eux dans leur ensemble^ ils admettraient un certain diviseur commun /r différent de l'unité, et l'on aurait (69)
-r9 inférieur à m, serait donc, contrairement à l'énoncé, un commun multiple des nombres a, 6, c.
Plus petit commiin multiple de deux nombres.
131. Le plus petit commun multiple de deux nombres \ et B s*obtient en divisant le produit AB de ces deux nombres par leur plus grand commun diviseur D.
En effet, pour diviser le produit AB par D, on peut diviser
AB
kouB par D (69). Le quotient r=r- a donc pour expression
Agor/Bg.
B A , j . AB
g et 1= étant des entiers, ce quotient jr- est un commun
multiple des nombres A et B, D'ailleurs, si on le divise successivement par A et par B, les quotients obtenus fi et ^r
sont premiers entre eux (117). Par suite (129), -jr- est le plus
petit commun multiple des nombres A et B. Dans la pratique, on obtient le plus petit commun multiple
en multipliant Tun des nombres donnés A par le quotient rr
de Tautre nombre donné B par leur plus grand commun diviseur D.
Soient, par exemple, les deux nombres 852 et 192, qui ont 12 pour plus |?rand commun diviseur. Leur plus petit commun multiple est égal à
132. Tout commun multiple de deux nombres étant un multiple de leur plus petit commun multiple [ 128], on forme tous les communs multiples de deux nombres en multipliant leur plus petit commun multiple par la suite naturelle des nombres entiers^
Quand deux nombres sont premiers entre eux y leur plus petit commun multiple est égal A leur produit^ puisque leur plus grand commun diviseur est égal à l'unité.
Quand deux nombres sont exactement divisibles l'un par Vautre, leur plus petit commun multiple est le plus grand d'entre eux^ puisque leur plus grand commun diviseur est alors égal au plus petit d'entre eux.
PI118 petit commim multiple de plasieurs nombres.
1^8. On peut ramener la recherche du plus petit commun multiple He plusieurs nombres à celle du plus petit commun multiple de deux nombres, à l'aide du théorème suivant:
Soient n nombres a, p, y 9. . .,1; si m est le plus petit com^ mun multiple de deux d 'entre eux a et (3, le plus petit com^ mun multiple des n nombres a, [3, y, . . . , X est le même que celui des (n — 1) nombres m, y,. . ., "k.
ARITHMéTIQUK. jS
En effet, loul commun multiple des nombres a, (3, y, . . . , X est commun multiple des nombres m, y, . . ., X, puisque tout commun multiple de a et de p est multiple de m (128). Réciproquement, tout commun multiple des nombres m, y, . . ., X est commun multiple des nombres a, (3, y, ..., X, puisque tout multiple de m est commun multiple des nombres a et p. Le plus petit commun multiple est donc le même pour les deux suites.
Cette démonstration prouve que, si deux des nombres considérés se divisent mutuellement, on doit supprimer le plus petit de ces deux nombres qui ne peut avoir aucune influence sur le résultat cherché. En effet, si p divise a, ce dernier nombre est immédiatement le plus petit commun multiple de a et de (3 (132), et la suite a, [3, y, . . . , X, se trouve remplacée sans calcul par la suite a, 7, . . ., X.
D'après le théorème précédent, la recherche du plus petit commun multiple de n nombres, ramenée d'abord à celle du plus petit commun multiple de (n — i) nombres, le sera de même à celle du plus petit commun multiple de (n — 2) nombres, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne à deux nombres seulement dont le plus petit commun multiple sera le plus petit commun multiple cherché.
Soient, par exemple, les quatre nombres a, (3, y, i. On cherchera le plus petit commun multiple m des nombres a et p, et la série des nombres a, (3, v* 0 sera remplacée par celle des nombres m, y, d. On cherchera ensuite le plus petit commun multiple m' des nombres m et y, et les nombres m, y, 5 seront remplacés par les nombres m' et à. Le plus petit commun multiple m" des nombres m' et i sera donc le plus petit commun multiple cherché.
On peut représenter la suite des opérations par le tableau ci-dessous :
y 6 AaiTHMÉTIQUE.
Pratiquement, soient D le plus grand commun diviseur des nombres a et p, et Q le quotient ((3 : D); on aura (131)
m = aQ,
De même, soient D' le plus grand commun diviseur des nombres m et y, et Q' le quotient (7 : D'); on aura
Soient enfin h" le plus grand commun diviseur des nombres m' et d, et Q'^ le quotient (ô : D''); on aura finalement
m'' = m' Q" = ocQQ' Q\
13^. On forme tous les communs multiples de plusieurs nombres, en multipliant leur plus petit commun multiple par la suite naturelle des nombres entiers ( 128]»
iRITHMÉTIQUE. ^^
