CHAPITRE III

THÉORIE DU PLUS PETIT œMMUN MULTIPLE.

Définition.

127. Un nombre peut êlre divisible par plusieurs nombres donnés. Il est alors un commun multiple de ces nombres. Parmi tous les communs multiples de plusieurs nombres, le plus petit est ce qu'on appelle leur plus petit commun multipie. Quand on Ta déterminé, on peut, comme nous le verrons, en déduire immédiatement tous les communs multiples des nombres proposés.

Théorèmes relatifs an pins petit commun mnltiple.

128. I. Tout commun multiple M de plusieurs nombres a, b, c, est un multiple de leur plus petit commun multiple m.

En effet, si M n'était pas un multiple de m, la division de M par m donnerait un quotient 9 et un reste r, et Ton aurait

M = mq -*- r.

Chacun des nombres a, 6, c, divisant M et m, devrait, d'après cette égalité (78), diviser r, qui serait alors, contre Thypothèse, un multiple commun, moindre que m, des nombres a, b, c.

129. II. Lorsque les quotients 9,9', q", obtenus en diviscuit un commun multiple M de plusieurs nombres a, 6, c, par chacun d'eux, sont premiers entre eux dans leur ensemble ( 120), ce commun multiple est le plus petit commun multiple des nombres donnés.

Les quotients q, q', q", ont, par hypothèse, Tunité pour plus grand commun diviseur.

Or, si M n'est pas le plus petit commun multiple des nombres donnés, soit m ce plus petit commun multiple. Nous au-

rons alors, d'après le ihcoréme précédent (128) et h étant un enlier quelconque, M = km. Mais on a aussi

M = km z=aq:= bq\= cq".

Par suite,

qzzz/f—i q'=:k-r^ q''=k — -

Les quotients -—» -7 ? - > étant entiers, les quotients q, q\ q",

admellraient, contrairement à l'énoncé, un diviseur commun A- supérieur à l'unité. M est donc nécessairement le plus petit commun multiple des noml^res donnés.