CHAPITRE V

APPUCiLTlONS DE LA THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS.

Recherche des diviseurs d'un nombre.

151. I. Pour que deux nombres soient divisibles l'un par l'autre, il faut et il suffit que tous les facteurs premiers du diviseur se retrouvent parmi ceux du dividende, avec un exposant au moins égal.

En effei, lorsque la division est possible, celte condition se trouve remplie, puisque le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient. Et lorsque cette condition se trouve remplie, la division est possible, puisque les facteurs qui restent lorsqu'on a supprimé dans le dividende ceux du diviseur forment précisément le quotient.

D'après cela, les diviseurs d'un nombre ne pouvant contenir d'autres facteurs premiers que ceux de ce nombre, pour les avoir tous, il suffit de décomposer le nombre proposé en ses facteurs premiers et de les combiner entre eux de toutes les manières possibles. La seule précaution à prendre est de suivre une marche telle, qu'on ne puisse oublier aucune de ces combinaisons.

152. H. Calcul des diviseurs d'un nombre. Soii le nombre 36o qui est égal à a'x 3'x 5.

Sur une première ligne horizontale, on écrit l'unité qui divise tous les nombres et les diverses puissances du facteur a, c'esi-à-dire les diviseurs qui contiennent seulement ce facleur. On forme une seconde ligne horizontale en multipliant les nombres de la première ligne par les diverses puissances du facteur 3. En multipliant i par ces puissances, on a les di« viseurs qui contiennent seulement le facteur 3. En multipliant les diverses puissances de a par les diverses puissances de 3,

on a les diviseurs qui coniiennent à la fois les facteurs a el 3. On forme une troisième ligne en multipliant les nombres contenus dans les deux premières par les diverses puissances du troisième facteur, puissances qui se réduisent ici à la première du facteur 5. En multipliant i par ces puissances, on a les diviseurs qui contiennent seulement le troisième facteur premier. En multipliant les puissances de 2 par 5, on a les diviseurs qui contiennent à la fois les fadeurs 2 et 5. En multipliant la seconde ligne par 5, on a d'abord les diviseurs qui contiennent les facteurs 3 et 5, et ensuite les diviseurs qui contiennent à la fois les facteurs a, 3 et 5. Aucune combinaison n'a donc été oubliée.

Les diviseurs extrêmes sont l'unité et le nombre donné luimême.