III. Nombre des diviseurs d'un nombre

Il est facile de déduire de l'ordre adopté le nombre des diviseurs qu'on doit obtenir.

La première ligne renferme un nombre de diviseurs marqué par l'exposant du facteur premier 2, plus l'unité, c'est-àdire (3 4- i) diviseurs.

La seconde ligne, obtenue en multipliant la première par les diverses puissances de 3, en contiendra 2 fois autant, puisque le facteur 3 est affecté de l'exposant 2, c'est-à-dire (3-+-i)X2.

Les deux premières lignes réunies renfermeront donc [(3-hi)-i-(3 4-i)X2] diviseurs, c'est-à-dire (3-hi)X(2+i).

La troisième lignes obtenue en multipliant les deux premières par les diverses puissances du troisième facteur, en contiendra une fois, deux fois, trois fois autant que ces deux lignes, suivant que l'exposant du troisième facteur considéré sera 1, 2 ou 3. Dans l'exemple choisi, la troisième colonne renfermera donc (3 -f-i) x (2 -i- 1) diviseurs.

Les trois lignes réunies renfermeront donc un nombre de diviseurs représenté par

ATlITHMETIQtJE. 89

c*esl-à-dire que le nombre lolal des diviseurs devra être égal à

La loi est évidente : Pour avoir le nombre des diviseurs d'un nombre, il faut ajouter i aux exposants de ses différents facteurs premiers^ et multiplier entre eux les résultats obtenus^

Le nombre 36o doit avoir 24 diviseurs.

154. Il résulte de ce théorème et de celui du n*» 149 que, lorsqu'un nombre est un carrée le nombre de ses diviseurs est impair f et qu'il est pair dans le cas contraire.

Composition du plus grand commnn divisenr et du pins petit commun multiple de plusieurs nombres.

155. I. Le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres est le produit des facteurs premiers communs à ces nombres, pris avec leur plus faible exposant (').

Soient les nombres

N''=2»x3»x5»Xn;

leur plus grand commun diviseur sera formé des facteurs premiers 2 et 3, pris avec les exposants 2 et i. En effet, tout diviseur commun aux nombres proposés ne peut contenir que des facteurs premiers communs à ces nombres (151 ), c'est-à-dire les facteurs 2 et 3; et il peut les contenir au plus avec les exposants les plus faibles qui les a£fectent dans les nombres proposés, sans quoi il cesserait d'être diviseur commun. Le plus grand commun diviseur cherché sera donc 2>x 3.

156. II. Le plus petit commun multiple de plusieurs nom^ bres est le produit des facteurs premiers différents (communs ou non communs) contenus dans ces nombres^ pris avec leur exposant le plus élevé.

(*) Il résulte de ce théorème que, si l'on cherche le plus grand commun di- Tisenr de deux nombres en opérant par voie de divisionj on peut supprimer dans Tan des nombres tout facteur premier qui n*entre pas dans l'autre nombre, sans changer le plus grand commun diviseur cherché.

go ABITHMÉTIQL'E.

Soient les nombres

N' = 2>x3 X 7, N"=:2»x3»x5*xii:

leur plus petit commun multiple sera formé des facteurs premiers a, 3, 5, 7 et II, pris respectivement avec les exposants 3, 3, 2, I et I. En effet, tout multiple commun des nombres donnés doit contenir tous les facteurs premiers contenus dans ces nombres (151 ); et il doit les contenir au moins avec les exposants les plus élevés qui les affectent dans les nombres proposés, sans quoi il cesserait d'être multiple commun. Le plus petit commun multiple cherché sera donc

2»X3»x5'X 7 X II.

Remarques. — Si, parmi les nombres donnés, il en est qui se divisent exactement, on doit négliger les plus petits de ces nombres dans la recherche du plus petit commun multiple. Si l'on cherche, par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 5i6o, i8o et 36, il est inutile de considérer 36 qui est un diviseur exact de x8o, et dont les facteurs premiers font partie des facteurs premiers de i8o. Cette remarque concorde avec celle qu'on a faite au n" 133.

De même, si les nombres donnés sont premiers entre eux deux à deux, leur plus petit commun multiple est égal à leur produit; c'est ce qu'on a déjà vu au n** 1^2.

157. III. Quand on considère seulement deux nombres, leur produit est égal au produit de leur plus grand commun diviseur par leur plus petit commun multiple.

En effet, les facteurs premiers communs aux deux nombres entrent dans le plus grand commun diviseur avec leur plus faible exposant et dans le plus petit commun multiple avec leur exposant le plus élevé; le plus petit commun multiple contient en outre les facteurs non communs aux deux nombres. Le produit du plus grand commun diviseur par le plus petit commun multiple contient donc tous les facteurs des nombres proposés.

Ceihéorème a déjà été établi d'une autre manière au n® 131.

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