Remarque m. — Quand un nombre p est premier, on a

car les nombres premiers et non supérieurs à p sont tous les nombres plus petits que lui. La formule générale confirme cette indication.

168. Remarque IV. — Le résultat qu'on vient d'obtenir présente de nombreuses applications.

Cherchons, par exemple, de combien de manières la série de résidus qui correspond au module 8 peut se produire. Le nombre cherché (461) est égal à ?(8), c'est-à-dire à 2' ou 4* En effet, les nombres premiers et non supérieurs à 8 sont i, 3, 5, 7.

Si l'on divise successivement par 8 les sept premiers multiples de ces nombres (159), les résidus trouvés forment les quatre séries suivantes :

On voit que, dans chaque série, les termes également éloignés des extrêmes sont complémentaires (160) par rapport au module 8. On voit de plus que les nombres 1 et 7, 3 et 5, étant respectivement complémentaires par rapport à ce môme module, les séries qui leur appartiennent sont les mêmes en ordre inverse.

D'une manière générale, les nombres premiers et non supérieurs à un nombre donné m se répondent deux à deux à égale distance du plus petit et dn plus grand de ces nombres qui sont i et (/ii — i). Si r < m est pre-

g8 AEITHMÉTIQUE.

dans le premier membre. Or, m étant premier avec tous les facteurs de ce produit, moins le dernier, doit alors diviser ce dernier facteur. On a

donc

aT<'") . I B o (mod. /»),

et ifi^'^^ divisé par m donne l'unité pour résidu.

172. Si m, nombre quelconque, se trouve remplacé par un nombre premier /», la formule précédente devient (167)

flP-»iao (mod. /?).

C'est Texpression d'un théorème célèbre dû à Feemat et qu'on peut énoncer de la manière suivante :

n. Théorème nE Fermât. — V entier a n^étant pas divisible par le nombre premier p ou étant premier apec lui y a'~^ équivaut à l'unité par rapport au module p,

La démonstration directe de ce cas particulier est très-simple et analogue à celle du théorème général. Considérons les multiples

n, aa, 3fl,..., {p — i)fl.

Puisque aeip sont premiers entre eux, les résidus qu'on obtient en divisant ces multiples par p forment, dans un certain ordre (159), la suite

Le produit des dividendes étant équivalent au produit des résidus par rapport au module /?, on a donc