Remarque L — Considérons la série des puissances

fl», a», a\ «*,..., û?^*"), flTC-)+«,...,

et poursuivons-la indéfiniment, m étant toujours supposé premier avec a, divisons toutes ces puissances par m, et cherchons la série des résidus correspondants.

On pourra effectuer le calcul de la manière suivante. Comme à chaque division le dividende est multiplié par a, le résidu lui-même est multiplié par celui de a (94). Seulement, quand ce produit des deux résidus surpasse m, on doit en retrancher m autant de fois que possible*

ARITHMÉTIQUE. qq

Gela posé, a* donne le résidu i comme cfi^^ (171 ). Il en résulte que a* et cfl^^"^^ donneront aussi des résidus égaux, et qu'il en sera de même pour les puissances suivantes considérées deux à deux ; par suite, les résidus obtenus se reproduisent périodiquement dans un certain ordre.

D'une manière générale, si a" donne un certain résidu par rapport au modale ut, o^^^^\ k étant un entier quelconque, donnera le môme résidu.

174. Remarque II. — Le résidu de af^"*^ commençant une période comme celui de a*, il y a entre ces deux résidus, soit une période, soit un nombre exact de périodes. Mais, de a* jusqu'à a?^"*^ exclusivement, le nombre des lermesest égal à ^(//i). Donc, pour les résidus des puissances, le nombre des termes de la période est juste ^[m) ou un facteur de (}>(m).

Si m est un nombre premier p^ non diviseur de ^r, ^(m) est égal à/?— i, et le nombre des termes de la période des résidus devient /? — i ou un fecteur de /? — i .

17o. Remarque m. -— Désignons par n le plus petit nombre positif tel, qu'on ait

0*9 1 (mod. m).

On dit alors que, relativement au module ttz, le nombre a appartient à ^exposant /7, et Ton énonce comme il suit la remarque précédente (174) : V exposant auquel appartient a, premier avec m, par rapport au modide m, est un diviseur de^[m).

176. Remarque IV. -— 6 étant un autre nombre premier avec /t, considérons la suite

b, ba, ba^y ba^,..,, bà^^'^\ 6flî^'"^+»,...,

qu'on déduit de la suite

en multipliant tous ses termes par b.

Prenons deux termes de ïa première suite bc^ et ^rt*+^. Leur différence 8eraÂa*[^/— i], c'est-à-dire celle des termes correspondants de la seconde suite multipliée par b. Puisque a et 6 sont premiers avec m, les deux différences seront donc, à la fois, divisibles ou non par m.

Par conséquent, si deux termes de l'une des suites donnent des résidus ^ux par rapport au module //?, il en sera de même des termes correspondants de l'autre suite (92, 93). D'après cela, le terme qui, dans la première suite, ramène le même reste que 6, répond au terme qui, dans la seconde suite, ramène le reste i fourni par a*. On voit donc que les résidus donnés par la première suite prolongée indéfiniment composent une période dont le nombre des termes est, comme pour la seconde suite, égal à 7(/n) ou à un diviseur de ^(m).

177. Remarque Y. — Considérons enfin un nombre c, premier avec m

loo ahithmétique.

comme les nombres a et 6, et comparons les deux suites

D'après ce qu'on vient de dire (176 ), ces suites, que nous pouvons désigner par (^) et (c)) présenteront toutes deux le même nombre de termes, dans la période de leurs résidus par rapport au module m, que la suite primitive

Supposons que Tun des résidus de la suite {b) se retrouve parmi ceux de la suite (c), et soient bc^ et caf les dividendes correspondants. Â cause de la périodicité des résidus, on peut toujours admettre l'inégalité />/. La différence des deux dividendes est donc a^,[ba'-^ — c]. Cette différence devant être divisible par m^ qui est premier avec a, il faut que le facteur [ba^-^ — c] soit un multiple de m ; ce qui entraîne l'équivalence des termes ba^-^ et c par rapport au module m. Mais , dans ce cas, les résidus fournis par les suites (b) et (c) seront les mêmes dans un ordre différent (173 ) ; de sorte que, si on les range de part et d'autre circula irement, on obtient deux cercles qu'on peut rendre identiques par la simple rotation de l'un d'eux autour de son centre. On dit alors que les deux périodes de résidus se déduisent Tune de l'autre par permutation circulaire»

Si, au contraire, le résidu de c par rapport à m ne fait pas partie de la période des résidus de la suite {b) par rapport au môme module, les deux périodes de résidus n'ont aucun terme commun et sont complètement indépendantes l'une de l'autre.