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En comparant de la même manière les deux fractions -j — -
et-?, on trouve
Le théorème est donc démontré.
Il en résulte Immédiatement que, si l'on a plusieurs fractions inégales et qu'on les ajoute terme à terme^ la fraction obtenue est comprise entre la plus grande et la plus petite des fractions données.
Soient les fractions inégales -r» -> — » rangées par ordre
4 9 7 de grandeur croissante. D'après ce qui précède, la fraction
ItO ARITHMÉTIQUE.
7 tombe entre les fractions -j et -» et les fractions -r»
7 î -» — sont rangées par ordre de grandeur. Si Ton
ajoute terme à terme les fractions -, et — 9 la fraction
-7- est comprise entre elles deux : elle est donc plus
grande que la fraction 7 et plus petite que la fraction —
195. En rapprochant les n~ 193 et 194, on voit (\\iUine fraction dont les deux termes changent à la fois ne peut conserver la même valeur qu'autant que ces mêmes termes varient de quantités formant une fraction égale à la proposée.
196. III. Lorsqu'on ajoute une même quantité aux deux termes d'une fraction^ elle augmente ou diminue suivant qu'elle est plus petite ou plus grande que i ; dans les deux cas^. elle se rapproche de l'unité.
Lorsqu'on retranche une même quantité aux deux termes
d'une fraction, elle diminue ou augmente suivant quelle est
plus petite ou plus grande que i ; dans les deux cas, elle
s'éloigne de l'unité.
Soit la fraction -• Ajoutons à ses deux termes une quantité
7 ^ ^ quelconque m. Nous aurons la fraction Remarquons
qu'on peut mettre l'unité sous la forme d'une fraction dont les deux termes sont égaux (179) et poser i = — On peut
alors regarder la fraction comme ayant été obtenue en
^ 7 -hm ^
ajoutant terme à terme les fractions - et — ; cette fraction,
toujours plus petite que i, est donc plus grande que la fraction-f 194).
Réciproquement, la fraction - est plus petite que la frac-
lion •
Soit la fraction \ plus grande que i. On peut regarder la
ARITHMÉTIQUE. 1 1 l
fraction ^ comme ayant été obtenue en ajoutant terme à
terme les fractions ^ et — ; cette fraction, toujours plus grande
que I, est donc plus petite que la fraction ^ (1%).
Réciproquement, la fraction ^ est plus grande que la frac-
lion ^ •
197. Il est utile de remarquer qu'à mesure que la quantité ajoutée aux deux termes de la fraction augmente cette fraction approche de plus en plus de Tunité sans jamais pouvoir l'atteindre, puisque les deux termes de la fraction résultante ne peuvent jamais devenir égaux.
Quand une quantité variable d'une manière continue converge ainsi vers une quantité fixe, la quantité fixe s'appelle la limite de la quantité variable. L'unité est ici la limite commune des séries croissantes qu'on obtient en partant d'une fraction quelconque plus petite que i, et des séries décroissantes qu*on obtient en partant d'une fraction quelconque plus grande que i.
La considération des limites est extrêmement importante en Mathématiques; nous en verrons beaucoup d'autres exemples.
198. IV. Moyenne arithmétique. — On appelle en général moyenne de plusieurs quantités une quantité comprise entre la plus grande et la plus petite des quantités données, et formée à l'aide de ces quantités.
Si l'on a plusieurs nombres 67, 72, 98, on peut les considérer comme des fractions ayant pour dénominateur l'unité. Si
Ton ajoute terme à terme ces fractions — ? —, 2-, la fraction obtenue -^ — \ — est comprise entre les fractions extrêmes
— et 2-, c'est-à-dire entre les nombres 67 et 93 (194). Cette
moyenne, qu'on trouve en ajoutant les quantités données et en divisant leur somme par leur nombre, s'appelle la moyenne arithmétique des quantités considérées. ,
1 I a AKITHMÉTIQUE.
