III. On ne change pas la valeur d* une fraction lors
qu'on multiplie ou qu*on divise ses deux termes par un même
nombre,
Soit la fraction -• Les deux fractions - et r sont toutes
les deux, d'après ce qui précède, 3 fois plus petites que la
5x3 fraction 9 c'est-à-dire qu'elles sont égales.
Il résulte de là qu'une valeur fractionnaire donnée est susceptible d'une Infinité d'expressions. On a
Théorie des firactloiu irrédnctibles.
186. Une fraction est irréductible lorsque sa valeur ne peut pas être exprimée en termes plus simples : on dit alors qu'elle est réduite à sa plus simple expression,
187. L II est évident qu* une fraction irréductible doit avoir ses deux termes premiers entre eux; car, sans cela, on pourrait diviser ses deux termes parleur plus grand commun divi seur, sa valeur ne changerait pas, et elle serait exprimée en termes plus simples.
Mais il n'est pas évident qu'une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux soit irréductible; car on ne sait pas a priori si, en diminuant les deux termes de cette fraction dans un certain rapport, on ne pourra pas obtenir une fraction égale et plus simple, il faut donc démontrer le théorème suivant.
188. IL Toutes les fractions égales à une fraction dont les termes sont premiers entre eux s'obtiennent en multipliant les deux termes de cette fraction par un même nombre quelconque»
, ARlTnMÉTtQtE» ic5
Soit la fraction - dont les termes sont premiers entre eux, et
soil la fraction ? qui lui est égale. Multiplions les deux termes
de chaque fraction par le dénominateur de l'autre; elles resteront égales» et Ton aura
Les dénominateurs étant alors égaux, les numérateurs le seront (182), et Ton aura
5xfc=aX7.
5 divisant le premier membre de celle égalité divisera le second; de plus, 5 étant premier avec 7 devra diviser a (140). Si q est le quotient de cette division, on aura
11 en résulte
5xb = 5XqX 7,
c'esl-à-dire, en divisant les deux membres de Tégalité par 5,
On a donc bien
a 5xq ^ b^ 7x7'
7 représentant la valeur - moins simplement que -» celte dernière fraction est, par suite, réduite à sa plus simple expression, elle est irréductible.
Ainsi, pour néduire une fraction à sa plus simple expression^ il faut rendre et il suffit de rendre ses deux termes premiers entre eux. On y pnrvicnt en divisant les deux termes de la fraction par leur plus grand commun <liviseur (117).
De plus, pour obtenir toutes les fractions égales à une fraction irréductible donnée, il suffit de multiplier les deux termes de cette fraction par la suite naturelle des nombres.
189. Soit, par exemple, à réduire la fraction ■ • • ■■ On ^ ^ 2901
cherche le plus grand commun diviseur des nombres 799
lOÔ'
et 2961;
ei, en employant ralgoriihine indiqué [US), on trouve que
la plus simple expression de la fraction -^^ est ^.
Souvent, dans la pratique, on évite la recherche du plus grand commun diviseur, en supprimant dans les deux termes de la fraction proposée tous les facteurs communs qu'on y
aperçoit. Soit la fraction
• Si Ton divise les deux termes
par 10, il vient -^. Si on les divise par 2, il vient — • Enfin,
en divisant encore les deux termes par 11, on trouve la fraction irréductible-'
La réduction des fractions à leur plus simple expression a
une grande importance. On simplifie les calculs, en opérant sur des fractions irréductibles, et Ton juge mieux de la valeur des quantités considérées.
190. Deux fractions irréductibles égales sont identiques; car chacune doit être obtenue en multipliant les deux termes de l'autre par un même nombre (188), qui ne peut, dans ce cas, être que Tunité.
Rédnction des fractions an même dénominatenr et an pins petit
dénominatenr conunnn.
191. Pour pouvoir comparer des fractions, il faut qu'elles aient même dénominateur ou même numérateur (18'2). L*usage est de les réduire au même dénominateur.
Si l'on opère sur deux fractions, il suffit de multiplier les deux termes de chaque fraction par le dénominateur de l'autre : elles ont alors toutes deux pour dénominateur le pro-
3 5 duit des dénominateurs primitifs. Soient les fractions 7 et -:
réduites au même dénominateur, elles deviendront
et
c*esl-à-dîre
2tf ^* 28
Si l'on opère sur plus de deux fractions, il suffît de multiplier les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres; elles ont alors pour dénominaleur commun le produit de tous les dénominateurs primitifs.
Soient les fractions^? §7 -5 — «Réduites au même dénomi-
niteur, elles deviendront
aX5X7Xii 4x3X7X11 6x3x5Xn 8x3x5X7 3x5x7X1 1' 5x3X7X1 1' 7X3x5Xii' iiX3x5X7'
c'esl-à-dire
ii55 ii55 ii55 ii55
192. Lorsque les dénominateurs des fractions proposées soni premiers entre eux, on ne peut pas suivre une autre marche; dans le cas contraire, on peut réduire ces fractions à leur plus pelit dénominateur commun,
11 faut d'abord supposer ces fractions irréductibles. On ne pourra alors transformer chacune d'elles, sans changer sa valeur, qu'en multipliant ses deux termes par un certain nombre (188}. Le dénominateur commun qu'on leur donnera à toutes, quel qu'il soit, sera donc divisible par tous les dénonlinateurs primitifs, puisqu'il les contiendra comme facteurs, c'est-à-dire qu'il en sera un commun multiple. Si l'on veut avoir le plus petit dénominateur commun, il faut donc chercher le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions proposées. Il est évident d'ailleurs qu'on pourra bien donner ce plus petit commun multiple comme dénominateur à toutes les fractions considérées; car il suffira pour cela de multiplier les deux termes de chacune d* elles par le quotient obtenu en divisant par son dénominateur le plus petit commun multiple (').
(') Si les fractions données n'étaient pas préalablement réduites à leur plus u'mple expression, la règle indiquée ne conduirait pas toujours au plus petit dénominateur commun. En eflet, tous les termes des fractions proposées pourraient alors admettre un facteur commun que la réduction au même dénominateur ne ferait pas disparaître; ce facteur commun supprimé, les fractions eonseireraient un même dénominateur, plus petit que le précédent.
io8
ahithmétique.
Proposons-nous, par exemple, de réduire au plus petit déno-
minateur commun les fractions
• Ces fractions,
réduites à leur plus simple expression, deviendront^» —^^
-~p« En décomposant les dénominateurs en leurs facteurs premiers, on obtient
Leur plus petit commun multiple est donc 2* x 3' x 5' x 7 ou 63oo. Divisons maintenant le plus petit commun multiple par les dénominateurs : ce qu'on doit faire en supprimant parmi les facteurs de ce plus petit commun multiple ceux qui appartiennent au dénominateur considéré. Ici, on aura pour quotients successifs i4o, sS, 36. 11 faudra donc multiplier respectivement les deux termes de chaque fraction par i4o, par 25, par 36. On trouvera
980 125 324 63oo 63oo (>3oo
On dispose ordinairement le calcul comme ci-dessous :
FractioDB proposées.
Quotients da P. P. C. M. par
les diflorents dénominateurs.
Fractions réduites.
63oo
63oo
63oo
Décomposition des dénominateurs en facteurs premiers.
P. P. C. M. = 2»x3>x5*X7 = 63oo.
Théorèmes snr les fractions.
193. I. Lorsque plusieurs fractions sont égales, en les o/outant terme à terme, on obtient une fraction égale à chacune des fractions proposées.
En effet, les fractions proposées, étant égales, sont toutes équivalentes à la même fraction irréductible (188). Leurs
ARITHMÉTIQUE. lOQ
termes sont alors respectivemeni des équimuliiples des termes de cette fraction irréductible. La fraction obtenue en ajoutant les fractions données terme à terme remplit donc encore la même condition, c'est-à-dire qu'elle est égale à la même fraction irréductible et, par suite» à chacune des fractions considérées.
On démontre de même qu'en retranchant terme à terme deux fractions égales on obtient une fraction égale à chacune d'elles.
194. II. Lorsqu'on ajoute terme à terme deux fractions inégales, la fraction obtenue est comprise entre les deuxfrac^
lions données.
Soient les deux fractions -r et — *> y- Si on les réduit au
même dénominateur, la plus grande aura le plus grand numérateur. Par suite, on peut écrire
Il X4>3X7.
Cela posé, pour comparer les deux fractions — et -y ? il
faut les réduire au même dénominateur et comparer leurs nouveaux numérateurs iiX (4 H- 7) et (3 -hii)X7- En supprimant la partie commune 1 1 X 7 et en se reportant à l'inégalité précédenle, on voit que la première fraction a le plus grand numérateur. On a donc
