SYSTÈME MÉTRIQUE

Notions préliminaires.

347. Nous avons achevé tout ce qui concerne le calcul quand on considère seulement les six premières opérations fondamentales. L'étude des logarithmes en Algèbre et celle des rapports trigonomélriques augmenteront plus tard nos ressources sous ce point de vue.

Pour terminer l'Arithmétique proprement dite, nous devons maintenant exposer ses applications usuelles. Ces applications sont plutôt du ressort de l'Algèbre; car TArithmélique ne trouve pas les solutions, elle les calcule. Mais il ne s^ra pas inutile de montrer, par comparaison, quels sont les avaniages de l'Algèbre et, après avoir résolu certaines questions à l'aide de l'Arithmétique, de les résoudre de nouveau algébriquement, avec une rapidité et une simplicité bien plus grandes.

Comme les calculs les plus ordinaires ont pour objet des longueurs, des surfaces, des volumes et des poids, nous exposerons d'abord le système général de ces mesures.

3W. « L'excessive diversité des mesures de longueur, de volume et de poids, autrefois usitées dans les diverses pro- Tinces de la France, présentait au gouvernement, ainsi qu'au commerce, des inconvénients depuis longtemps reconnus. Kais le Caractère légal, attaché aux usages individuels de ces

924 ahithmétique.

provinces, n'auraii pas aisément permis à rAdministratlon royale de les raniener à runiformité. Lorsque la grande Révoiuiion de 1789 eul mis louie la force d'un pouvoir central aux mains de l'Assemblée constituante , quelques hommes éclairés songèrent à profiler de celle position pour donner à la France un système de mesures général et uniforme, dont toutes les parties fussent astreintes à un mode régulier de dérivation. Une Commission, prise dans l'Académie des Sciences, composée de Borda, Lagrange, Laflace, Monge et CoNDORCET, fut chargée de proposer un choix d'unité fondamentale, et d'indiquer les opérations nécessaires pour la déterminer. » (BioT, Astronomie physique y t. III, p. 334-)

U unité fondamentale qui a été choisie par la Commission est la dix-millionième partie du quart d'un méridien ter-' restre (') : cette unité fondamentale a reçu le nom de hëtur. Les résultats des opérations exécutées, pour la déterminer d'une manière aussi précise que possible, par Mécdain, Db- LAMDRE et Borda, furent approuvés par le Corps législatif le 4 messidor an Vil (22 juin 1799), et les étalons des mesures de longueur et de poids adoptées déposés aux Archives (*).

349. Remaiique. — D'après les opérations géodésiques exécutées et les calculs auxiliaires, le quart du mériaien terrestre elliptique avait été trouvé égal à 5 180740 toises (*) ou le mètre égal à o^o^w^ 5130^40 : telle est la longueur du mètre légal. Des calculs plus exacts ont prouvé depuis que celte valeur est un peu plus petite que la dix-millioniOme partie du quart du méridien terrestre considéré, lequel passe par Paris en allant de Dunkerque à Barcelone. 11 est très-heureux ce])endant qu'on ait accepté immédiatement les résultats mdiques : ce qui importait, c'était rétablissement légal de Tuniformité des mesures pour toute la France. Le mètre théorique et le mètre légal diiïèrent d'ailleurs très-peu, puisque Terreur présumée affecte seulement les centièmes de ligue. Le mètre légal étant représenté par le nombre o^o'", 5180740 ou 443*-'^«»,2g6, le calcul indique la valeur oToiw;5i3i276 ou 443»-»«n~,34a.

(*) On démontre que la Terre peut être regardée approximativement comme un ellipsoïde .de révolution aplati aux pôles et renflé à Téquateur. Toute section passant par l'axe, c'est-à-dire par la ligne des pôles, détermine un méridien terrestre. ( Voir la Géométrie.)

(') L'étalon en platine déposé ai^x Archives donne la longueur légale du mètre à la température de la glace Tondante.

(') La tuise était l'ancien ne unité de mesure pour les longueurb : elle se subdivisait en G pieds, chaque pied en 13 pouces, chaque pouce eu la lignes; la toise renfermait donc 72 pouces ou 864 lic^^^*

Mesures de longnear.

350. Comme le dit Lk^lace {Exposition du Système du monde, livre I, ch. XIV) : « L'ideniilé du calcul décimal el de celui des nombres eniiers ne laisse aucun doute sur les avantages delà division de toutes les espèces de mesures en parties décimales. »

On a donc soumis les multiples et les subdivisions du mètre à la loi décimale : les multiples représentent des longueurs de dix en dix fois plus grandes, les subdivisions des longueurs de dix en dix fois plus petites. Les noms des multiples sont formés du nom de l'unité principale, précédé des mots grecs décay liée ta, kilo, myria, qui signifient dix, tent, mi lie, dix mille ;ei les noms des subdivisions sont formés du nom de l'unité principale, précédé des mois latins déci, centi, milli, qui signifient dixième, centième, millième. Cette règle est également suivie pour toutes les autres mesures. Les mesures de longueur sont comprises dans le tableau suivant :

Mrn'amètre |MM) dix raille mètres.

Kilomètre (KM) mille mètres.

Hectomètre ( HM ) cent mètres.

Décamètre (DM) dix mètres.

ilÈTRE (M ) unité de longueur, unité fondamentale.

Décimètre (dM ) dixième de mètre.

Centimètre (cM) centième de mètre.

Millimètre (mM) millième de mètre.

D'après ce tableau, une longueur contenant

3 hilomètres, 5 hectomètres, 2 décamètres, 7 mètres, 8 décimètres, g centimètres^

est représentée par

351. On ne prend pas toujours le mètre pour unité. S'il s'agît de distances itinéraires, on rapporte le nombre considère au myriamètre ou au kilomètre. Dans l'arpentage, c'est Thectomètreou le décamètre qui devient l'unité. Les physiciens, dans leurs expériences délicates, expriment les résultats qu'ils obtiennent en centimètres ou en millimètres.

De C. — Cours, i. l5

a26 ARITHMÉTIQUE.

Il est évident d'ailleurs que, lorsqu'on veut changer d'unîié, il suffit de placer la virgule à la droite du chiffre de même espèce que la nouvelle unité. Ainsi, le nombre 3275'',7ï3 représente aussi 32"'*,757i3. Le déplacement de la virgule ne change pas l'espèce d'unité représentée par le dernier chiffre à droite.

Dans tous les cas, l'unité adoptée ne doit être ni trop grande ni trop petite par rapport aux longueurs à mesurer.

352. On mesure les longueurs à l'aide de règles. On emploie pour le dessin le double décimètre, longueur de 2 décimètres, divisée en centimètres et en millimètres, à l'aide de laquelle on peut très-facilement évaluer une petite longueur à 7 millimètre près. Dans le lever des plans, on se sert de règles en bois ou en métal ayant i, 2, 4 ou 6 mètres. La chaîne d'arpenteur est une chaîne de 10 mètres.

£n France, des bornes placées le long des routes indiquent les kilomètres parcourus.

On. compte par lieue métrique de 4000 mètres ou de 4 (kilomètres; par lieue de 25 au degré (•) (c'est-à-dire qu'on en compte 2.5 dans l'arc d'un degré) ou par lieue de 4444">44 (')î par lieue marine de 20 au degré ou de 5555**, 56; par raille marin de 60 au degré ou de i minute, contenant i85i^,85.

Dans la mesure directe des longueurs, on ne peut pas compter sur une approximation supérieure à o^^ooou

Hesores de siurface.

353. L'unité de surface est toujours le carré {Jlg. i) construit sur l'unité de longueur (voir la Géométrie). Cette unité porte le nom de mètre carré. Les multiples du mètre carré sont de cent en cent fois plus grands, les subdivisions de cent en cent fois plus petites. Pour nous en rendre compte, considérons le carré construit sur un mètre. Divisons le côté AB en dix parties égales : chacune représentera un décimètre; par les points de division obtenus, menons des parallèles au

( *) Le quart du méridien terrestre est divisé en 90 degrés , chaque de^^ré en 60 minutes, chaque minute en 60 secondes.

(*) 11 s'a^rit ici, bien entendu, d'une valeur moyenne.

Fig. I.

côié BC. Nous diviserons le carré en dix bandes ayant i"de

longueur et o",i de hauteur Divisons de même le côté BC en dix décimètres et, par les points de'division, menons des parallèles au côté AB. Nous partagerons chacune des dix premières bandes en dix carrés ayant pour côté o*",! ou en dix décimètres carrés. Le mètre carré en contient donc 100.

Même démonstration pour les c autres multiples ou subdivi-

sions. On peut donc former le tableau suivant :

Mmamèire carré ( MMq )

Kilomètre carré ( KMq )

Hectomètre carré (HMq)

Décamètre carré (I^^Q)

UÈTBE CARRÉ (Mq)

Décimètre carré (dMq)

Centimètre carré (cMq )

Millimètre carré (mMq )

1 00000000 M. carrés.

1 000000 M. carrés, loooo M. carrés.

100 M. carrés.

carré construit sur l'unité de longueur, 0,01 de M. carré, o.oooi de M. carré.

0,000001 de M. carré.

On voit que deux chiffres sont nécessaires pour représenter chaque multiple ou subdivision, de sorte qu'une surface renfermant

3HMq 25*^^*1 7"^ 83^*''» 9^*''î

sera représentée par le nombre 325o7"'î,83o9.

Lorsqu'on veut passer d'une unité à une autre> il suffit évidemment de placer la virgule après le chiffre qui correspond à la nouvelle unité.

354 Quand il s'agit de mesures agraires ou d'arpentage, l'unité principale devient le décamètre carré, et on lui donne alors le nom à* are. L'are n'admet qu'un seul multiple : Yheciarcy qui vaut cent ares; qu'une seule subdivision : le ceniiare, égal à la centième partie de Tare. En se reportant à ce qui précède, on peut donc former le tableau suivant :

Hectare (Ha) 100 ares ou i"*''» ou 10000**^

jire (a) i^^^ ou ioo"<i

Centiare (ca) 0,01 d'are ou i"<i

La superficie d'un terrain renfermant i35 hectares, 7 ares, 12 centiares sera alors représentée par le nombre 1 35 "",07 12 ou parle nombre i35o7*,i2 ou par le nombre i35o7i2*^*.

Pour transformer un nombre d'hectares en mètres carrés, il suffit de le transformer en centiares, puisque le centiare et le mètre carré représentent la même surface. Ainsi une surface de 3i27''*,2593 renferme 3i272598** ou 3x272598"*!.

355. Les surfaces ne sont jamais mesurées directement, c'est-à-dire qu'on ne porte pas l'unité de surface autant de fois que possible sur la surface à évaluer. La Géométrie ramène celte évaluation à celle de la longueur d'une ligne ou de plusieurs lignes ayant une liaison déterminée avec la surface considérée.

Mesures de volame et de capacité.

356. On prend toujours pour unité de volume le cube (fig. 2) construit sur l'unité de longueur {voir la Géométrie), Cette unité porte le nom de mètre cube. Les multiples du mètre cube sont de mille en mille fois plus grands, les subdî-

Fig. 2.

visions de mille en mille fois plus petites. Pour nous en rendre compte, considérons le cube construit sur un mètre. Sa face ABGD renfermera 100 décimètres carrés, puisque celle face est un mètre carré. Sur chacun de ces décimètres carrés comme

aeithmétique. 229

base, on peut construire un volume ayant pour hauteur l'arêle BE du cube : le mètre cube considéré renfermera cent de ces volumes. On peut maintenant diviser Tarêie BE = i" en 10^'* et, par les points de division obtenus, faire passer des plans parallèles à la face ABCD. On décomposera chacun des cent volumes déjà construits en dix volumes, et ces dix volumes seront évidemment des cubes ayant i"^^ de côté, c'està-dire dés décimètres cubes. Le mètre cube contient donc bien 1000 décimètres cubes. Même démonstration pour les autres multiples ou subdivisions. On peut donc former le tableau suivant :

Hectomètre cube ( IIMc) 1 000000 M. cubes.

Décamètre cube (l)Mc) 1000 M. cubes.

Mètre cube (Me) cube construit sur V unité de longueur»

Décimètre cube (dMc) 0,001 de M. cube.

Centimètre cube (cMc) 0,000001 de M. cube.

Millimètre cube (mMc) 0,000000001 de M. cube.

On voit que trois chiffres sont nécessaires pour représenter chaque multiple ou subdivision, de sorte qu'un volume renfermant

sera représenté par le nombre 37365"'=,o27oo9, Lorsqu'on veut passer'd*une unité à une autre, il suffit évidemment de placer la virgule après le chiffre qui correspond à la nouvelle unité.

357. Les mesures géométriques, les déblais et remblais, les blocs extraits des carrières, etc., sont exprimés en mètres cubes. Lorsqu'il s'agit d'éval uer le volume des bois de chauffage ou de charpente, l'unité de volume prend le nom de stère.

Le stère n'a qu'un multiple : le d/fcastère, qui vaut dix stères; qu'une subdivision : le décistère, qui est la dixième partie du stère. On fait aussi usage du double stère et du demidécastère.

Les volumes, de même que les surfaces, ne sont jamais mesurés directement,

358. L'unité de capacité, ou l'unité employée pour la mesure des liquides et des grains, a reçu le nom de litre. Le litre est la capacité d'un décimètre cube. On compte par litres

comme on compte par mètres : on peut donc former le tableau suivant :

KiloUtre ( Kl ) jooo litres.

Hectolitre ( Hl) loo litres.

Décalitre (Dl) lo litres.

Litre (1 ) ou décimètre cube.

Décilitre ( dl) o, i du litre.

Centilitre (cl) o,oi du litre.

Millilitre ( ml ) o,ooi du Ktro.

Le mètre cube vaut looo décimètres cubes et le kilolîlre vaut 1000 litres. Par conséquent, le kilolitre est la capacité d'un mètre cube.

Une capacité renfermant

sera représentée par le nombre i578\98. Si l'on demande à

combien de mètres cubes équivaut cette capacité, il suffira de

prendre d*abord.pour unité le kilolitre, c'est-à-dire de placer la

virgule après le chiffre qui exprime des kilolitres. On obtient

ainsi

iKï,57898 .ou i"s57898o.

359. Les boissons se mesurent en hectolitres ou en litres; les grains, en hectolitres, décalitres ou litres; les graines propres au jardinage, en décilitres.

Pour la mesure des liquides on se sert de vases en éiain. Ces vases sont cylindriques, et leur hauteur est double du diamètre de leur base. Ces vases sont de iS 5^^ a'*^ i*^^ 5*^',

Pour la mesure des grains, on se sert de vases en bois. Ces vases sont cylindriques, et leur hauteur est égale au diamètre de leur base. Ces vases sont de I"^ 5*^^ 7P\ i^\ 5*, 2*, 1*, 5^\ 2«, i^^

Mesures de poids.

3G0. L'unité de poids a reçu le nom de gramme.

Le gramme est le poids dans le vide d'un centimètre cube d'eau distillée, à la température de 4 degrés centigrades.

On a pris de l'eau distillée, c'est-à-dire parfaitement pure, parce quûle poids de l'eau varie avec les matières qu'elle tieni en suspension. On a choisi la température de 4 degrés cent!-

grades» parce que le poids de Teau varie avec la température et que ce poids atteint son maximum à la température de 4 degrés centigrades. Enfin on a considéré le poids dans le vide, parce qu'on a voulu éviter la poussée de l'air qui aurait diminué le poids accusé par les appareils, et, en outre, parce que le poids dans Tair varie suivant l'état de l'atmosphère.

On compte par grammes comme on compte par mètres. On

peut donc former le tableau suivant :

Millier^ tonne ou tonneau de mer (T) looo kilogrammes.

Quintal métrique (Q) loo kilogrammes.

Kilogramme '. ' (Kg) looo grammes.

Hectogramme ( Hg) loo grammes.

Décagramme ( Og) lo grammes.

Gramme (g) unité de poids,

Décigramme (dg) o,i de gramme.

Centigramme (cg) o,oi de gramme.

Milligramme •• . . (mg) o,ooi' de gramme.

Comme le gramme eût été trop petit, c'est le kilogramme qui a été déposé aux Archives, sous forme d'un cylindre en platine, dont la hauteur égale le diamètre de la base.

Dans la mesure directe des poids, on ne peut pas compter sur une approximation supérieure à 7 milligramme,

361. Le kilogramme, valant 1000 grammes, représente le poids de 1000''^'' d'eau distillée dans les conditions indiquées: il équivaut donc an poids de i*"® ou d'ii/ï. litre d*eaii distillée.

De même, la tonne, valant 1000 kilogrammes, représente le poids de 1000 litres d'eau distillée, c'est-à-dire équivaut au poids d'un mètre cube d'eau distillée. Pour évaluer le chargement des navires, on se sert de la tonne ou tonneau. Un navire de 1000 tonneaux est un navire capable déporter 1 000000 de kilogrammes.

3G2. Les poids adoptés dans le commerce sont en fonte de fer, en cuivre ou en laiton; on les divise en trois séries. Les gros poids dépassent le kilogramme ; les poids moyens vont du kilogramme au gramme; les petits poids sont comptés à partir du gramme.

Les poids en fonte de fer sont de 50*^*, 20*», 10*», 5*», a*^», i^^5"S2«S 1"», 5»>«^.

aStl ARITHMÉTIQUE.

Les poids en cuivre sont de zo^^, lo^», 5*^^, a"^. i'^'^, 5"', ?."», i"»,5'>», 2"*^ i^^S 5% 2«, i», 5^«, 2^S ï^«, 5^*, 7St, i<"f, S'"», 2™S ï"".

Les poids inférieurs au gramme sont surtout employés dans les analyses chimiques, les pesées pharmaceutiques ou les expériences de Physique.

Les gros poids en fonte de fer affectent» jusqu'à to kilogrammes, la forme d'un parallélipipède rectangle; au-dessous, ils affectent la forme d'un tronc de pyramide hexagonal; un anneau permet de les soulever.

Les poids moyens en cuivre ou en laiton ont la forme d'un cylindre surmonté d'un boulon; la hauteur du cylindre est égale au diamètre de sa base, sauf pour le gramme et le double gramme qui présentent un diamètre double de la hauieur. On emploie aussi, du kilogramme jusqu'au gramme, des poids dits à godet, c'est-à-dire ayant la forme de cônes tronqués creux, qui rentrent exactement les uns dans les autres.

Enfin les petits poids sont en cuivre, en laiton ou en platine; on leur donne la forme d'une plaque carrée, dont l'un des angles est relevé pour qu'on puisse la saisir avec une pince.

363. Le rapport qui lie le kilogramme au litre ou la tonne au mèire cube permet d'apprécier immédiatement le volume d'une masse d'eau dont le poids esl connu ou inversement.

Si une masse d'eau pèse 259^^,825, elle occupe une capa* cité de 257^ 825 et son volume est égal à 0**% 257825.

Si une masse d'eau occupe une capacité de 2459s 7, elle pèse 2459"^», 7 ou 2^,4597.

On peut résoudre le même problème pour tous les corps^ pourvu qu'on connaisse leur poids sous l'unité de volume ou leur poids spécifique {*),

Remarquons que, lorsqu'on fait correspondre l'unité de poids ou le kilogramme et l'unité de capacité ou le litre, le même nombre abstrait représente le poids de la masse d'eau considérée et son volume. On peut donc dire encore que le poids spécifique d'un corps est le rapport de son poids à celui d'une masse d'eau de même volume.

Supposons qu'on demande le poids d'un bloc de marbre de 2^,875. S'il s'agissait d'un volume d'eau, le poids correspondant serait 2''',875 ou 2875"^*; le poids spécifique du marbre

(») Foir la Table IV à la lin du Volinue.

AUITHMÉTIQUE. ^-33

élanl égal à 2,8175, le poids cherché sera 9.875*^ X '2,8376 ou 8158*^», I.

SI l'on demande le volume occupé par un bloc de marbre pesant 459*^^27, il faut remarquer que le même poids d'eau occuperait un volume égal à 459** • ,270; mais le marbre pesant près de 3 fois plus que l'eau, sous le même volume, occupera, pour un poids donné, un volume environ 3 fois plus petit : plus exactement, on obtiendra le volume cherché en divisant le poids 4%)*^^» ^7 ou le volume d'eau correspondant 459''"*, 270 parle poids spécifique 2,8376; on trouve i6i****%85r.

Disons en terminant, et comme renseignements usuels, que le poids moyen de V hectolitre de froment est de 76 kilogrammes, celui de l'hectolitre d'orge de 64, et celui de l'heclolilre d'avoine de 47 kilogrammes.

Monnaies.