DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES II
sement donné de la variable, à partir de la valeur initiale &, tend vers zéro en même temps que l’accroissement de la variable.
Si on donne à x un accroissement Aa: il en résulte pour y un accroissement A7; la fonction est continue si Ay tend vers zéro en même temps que Ax. Ceci revient à dire qu’on peut prendre Ax assez petit pour que A7 soit aussi petit qu'on le voudra, en valeur absolue.
En d’autres termes, lorsqu'une fonction est continue on peut faire varier x assez peu pour que la fonction ait varié d'aussi peu qu'on le voudra.
Une fonction continue varie donc par degrés insen- sibles et ne peut pas sauter brusquement d’une valeur à une autre.
Toutes les fonctions que nous aurons à étudier dans ce cours sont continues sauf pour les valeurs exceptionnelles pour lesquelles elles croissent sans limite. Nous l’admettrons sans démonstration.
22. Definition de la dérivée. — Etant donnée une fonction y d'une variable x, donnons à cette variable un accroissement Ar et soit A7 l'accroissement correspondant de la fonction. Si le rapport = a une limite lorsque Ax tend vers zéro, cette limite est appelée la dérivée de la fonction, pour la valeur x de la variable.
D’une facon plus brève, la dérivée d’une fonction est la limite du rapport de l'accroissement de la fonclion à l'accroissement correspondant de la variable,
lorsque l'accroissement de la variable tend vers zéro. ne A7?
Il est bon de remarquer ici que, pour que Fer
puisse avoir une limite, il faut que Ay tende vers zéro
en même temps que Ax car S'il n'en était pas ainsi Ay SP PL n IR : ee NU —- croitrait indéfiniment: ceci revient à dire quil A
faut que la fonction soit continue (n° 21) pour que la dérivée existe.
23. Exemple I. — La dérivée d’une constante est égale à zéro.
En effet, si une fonction y de zx est constante, c'est-à-dire conserve toujours la même valeur, l'accroissement Ay de la fonction, qui correspond à un accroissement quelconque Ax de la variable, est toujours nul, car les valeurs initiale et finale de la fonction sont les mêmes. On a donc, toujours,
A y APS E
A lim (2) = 0,
24. Exemple II. — La dérivée de x est | ESA GE, Car, si on prend
ét par suite
tentes on à AY AT donc Ay AD #
étopar suite,
